最小二乘法拟合圆python 最小二乘法拟合圆公式

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mob64ca140f9cec 2024-01-09 22:49:13

文章标签 最小二乘法拟合圆python 拟合最小二乘法数据 文章分类 Python 后端开发

有一系列的数据点 {xi,yi}{xi,yi}，我们知道这些数据点近似的落在一个圆上，根据这些数据估计这个圆的参数就是一个很有意义的问题。今天就来讲讲如何来做圆的拟合。圆拟合的方法有很多种，最小二乘法属于比较简单的一种。今天就先将这种。

我们知道圆方程可以写为：

(x−xc)2+(y−yc)2=R2(x−xc)2+(y−yc)2=R2

通常的最小二乘拟合要求距离的平方和最小。也就是

f=∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√−R)2f=∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R)2

最小。这个算起来会很麻烦。也得不到解析解。所以我们退而求其次。

f=∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)2f=∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)2

这个式子要简单的多。我们定义一个辅助函数：

g(x,y)=(x−xc)2+(y−yc)2−R2g(x,y)=(x−xc)2+(y−yc)2−R2

那么上面的式子可以表示为：

f=∑g(xi,yi)2f=∑g(xi,yi)2

按照最小二乘法的通常的步骤，可知ff 取极值时对应下面的条件。

∂f∂xc=0∂f∂yc=0∂f∂R=0∂f∂xc=0∂f∂yc=0∂f∂R=0

先来化简 ∂f∂R=0∂f∂R=0

∂f∂R=−2R×∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)=−2R×∑g(xi,yi)=0∂f∂R=−2R×∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)=−2R×∑g(xi,yi)=0

我们知道半径 RR 是不能为 0 的。所以必然有：

∑g(xi,yi)=0∑g(xi,yi)=0

这是个非常有用的结论。剩下的两个式子：

∂f∂xc=−4∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)(xi−xc)=−4∑g(xi,yi)(xi−xc)=−4∑xig(xi,yi)=0∂f∂yc=−4∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)(yi−yc)=−4∑g(xi,yi)(yi−yc)=−4∑yig(xi,yi)=0∂f∂xc=−4∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)(xi−xc)=−4∑g(xi,yi)(xi−xc)=−4∑xig(xi,yi)=0∂f∂yc=−4∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)(yi−yc)=−4∑g(xi,yi)(yi−yc)=−4∑yig(xi,yi)=0

也就是下面两个等式：

∑xig(xi,yi)=0∑yig(xi,yi)=0∑xig(xi,yi)=0∑yig(xi,yi)=0

这里设：

ui=xi−x¯uc=xc−x¯vi=yi−y¯vc=yc−y¯ui=xi−x¯uc=xc−x¯vi=yi−y¯vc=yc−y¯

其中：

x¯=∑xi/Ny¯=∑yi/Nx¯=∑xi/Ny¯=∑yi/N

那么简单的推导一下，就会发现：

∑uig(ui,vi)=0∑vig(ui,vi)=0∑uig(ui,vi)=0∑vig(ui,vi)=0

其实都不需要推导，这个变量替换只不过是修改了坐标原点的位置。而我们的等式根本就与坐标原点的具体位置无关。所以必然成立。

这两个式子展开写是这样的：

∑((ui−uc)2+(vi−vc)2−R2)ui=0∑((ui−uc)2+(vi−vc)2−R2)vi=0∑((ui−uc)2+(vi−vc)2−R2)ui=0∑((ui−uc)2+(vi−vc)2−R2)vi=0

进一步展开：

∑(u3i−2u2iuc+uiu2c+uiv2i−2uivivc+uiv2c−uiR2)=0∑(u2ivi−2uiviuc+viu2c+v3i−2v2ivc+viv2c−viR2)=0∑(ui3−2ui2uc+uiuc2+uivi2−2uivivc+uivc2−uiR2)=0∑(ui2vi−2uiviuc+viuc2+vi3−2vi2vc+vivc2−viR2)=0

我们知道 ∑ui=0∑ui=0, ∑vi=0∑vi=0。所以上面两个式子是可以化简的。

∑(u3i−2u2iuc+uiv2i−2uivivc)=0∑(u2ivi−2uiviuc+v3i−2v2ivc)=0∑(ui3−2ui2uc+uivi2−2uivivc)=0∑(ui2vi−2uiviuc+vi3−2vi2vc)=0

为了简化式子，我们定义几个参数：

Suuu=∑u3iSvvv=∑v3iSuu=∑u2iSvv=∑v2iSuv=∑uiviSuuv=∑u2iviSuvv=∑uiv2iSuuu=∑ui3Svvv=∑vi3Suu=∑ui2Svv=∑vi2Suv=∑uiviSuuv=∑ui2viSuvv=∑uivi2

那么上面的式子可以写为：

Suuuc+Suvvc=Suuu+Suvv2Suvuc+Svvvc=Suuv+Svvv2Suuuc+Suvvc=Suuu+Suvv2Suvuc+Svvvc=Suuv+Svvv2

至此，就可以解出ucuc 和vcvc 了。

uc=SuuvSuv−SuuuSvv−SuvvSvv+SuvSvvv2(S2uv−SuuSvv)vc=−SuuSuuv+SuuuSuv+SuvSuvv−SuuSvvv2(S2uv−SuuSvv)uc=SuuvSuv−SuuuSvv−SuvvSvv+SuvSvvv2(Suv2−SuuSvv)vc=−SuuSuuv+SuuuSuv+SuvSuvv−SuuSvvv2(Suv2−SuuSvv)

那么：

xc=uc+x¯yc=vc+y¯xc=uc+x¯yc=vc+y¯

还剩下个 RR 没求出来，也很简单。

∑g(xi,yi)=0∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)=0∑g(xi,yi)=0∑((xi−xc)2+(yi−yc)2−R2)=0

所以：

R2=∑((xi−xc)2+(yi−yc)2)R2=∑((xi−xc)2+(yi−yc)2)

好了。下面给出个代码，这个代码的具体公式和我这里给出的有一点小差异，但是原理是相同的。

/**
 * 最小二乘法拟合圆
 * 拟合出的圆以圆心坐标和半径的形式表示
 * 此代码改编自 newsmth.net 的 jingxing 在 Graphics 版贴出的代码。
 * 版权归 jingxing， 我只是搬运工外加一些简单的修改工作。
 */
typedef complex<int> POINT;
bool circleLeastFit(const std::vector<POINT> &points, double ¢er_x, double ¢er_y, double &radius)
{
     center_x = 0.0f;
     center_y = 0.0f;
     radius = 0.0f;
     if (points.size() < 3)
     {
         return false;
     }

     double sum_x = 0.0f, sum_y = 0.0f;
     double sum_x2 = 0.0f, sum_y2 = 0.0f;
     double sum_x3 = 0.0f, sum_y3 = 0.0f;
     double sum_xy = 0.0f, sum_x1y2 = 0.0f, sum_x2y1 = 0.0f;

     int N = points.size();
     for (int i = 0; i < N; i++)
     {
         double x = points[i].real();
         double y = points[i].imag();
         double x2 = x * x;
         double y2 = y * y;
         sum_x += x;
         sum_y += y;
         sum_x2 += x2;
         sum_y2 += y2;
         sum_x3 += x2 * x;
         sum_y3 += y2 * y;
         sum_xy += x * y;
         sum_x1y2 += x * y2;
         sum_x2y1 += x2 * y;
     }

     double C, D, E, G, H;
     double a, b, c;

     C = N * sum_x2 - sum_x * sum_x;
     D = N * sum_xy - sum_x * sum_y;
     E = N * sum_x3 + N * sum_x1y2 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_x;
     G = N * sum_y2 - sum_y * sum_y;
     H = N * sum_x2y1 + N * sum_y3 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_y;
     a = (H * D - E * G) / (C * G - D * D);
     b = (H * C - E * D) / (D * D - G * C);
     c = -(a * sum_x + b * sum_y + sum_x2 + sum_y2) / N;

     center_x = a / (-2);
     center_y = b / (-2);
     radius = sqrt(a * a + b * b - 4 * c) / 2;
     return true;
}

下图是个实际测试的结果。对这种均匀分布的噪声数据计算的结果还是很准确的。

最小二乘法拟合圆python 最小二乘法拟合圆公式_最小二乘法