自然常数e就是lim(1+1/x)^x,x→+∞或lim(1+z)^(1/z),z→0,其值约为2.71828，是一个无限不循环小数。为超越数。
[1] e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为 欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字 纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家 约翰·纳皮尔 (John Napier)引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。
第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。
已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。
用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。
很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。 指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其 导数相等（乘以常数）。e是 无理数和 超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证的超越数，而非故意构造的（比较 刘维尔数）；由 夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。
超越数主要只有自然常数(e)和圆周率(π)。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。
融合e，π的最完美的 欧拉公式e^(iπ)+1=0，也是超越数e的数学价值的最高体现。
自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。
时函数
同时，它也等于1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……。注意，0!=1。
自然常数经常在公式中做对数的底。比如，对指数函数和对数函数求导时，就要使用自然常数。函数y=f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*ln(a)。函数y=f(x)=log a(x)的导数为f'(x)=log a(e)/x。
自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有a/ln(a)个。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，这个定理会越来越精确。这个定理叫 素数定理，由 高斯发现。
此外自然常数还有别的用处。比如解题。请把100分成若干份，使每份的乘积尽可能大。把这个题意分析一下，就是求两个数a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（说明，a可以为任意有理数，b必须为整数。）此时，便要用到自然常数。这需要使a尽量接近e。则b应为100/e≈36.788份，但由于份数要为整数，所以取近似值37份。这样，每份为100/37，所以a的b次方的最大值约为“94740617+167818+32.652”。
e是极为常用的超越数之一，它通常用作自然对数的底数。
收敛性证明
由均值不等式，有
单调上升；另一方面，我们尝试证明
。即要证
，故
成立，所以
单调上升有上界，即
另外形式
证法1
收敛于
即
，不妨设
和
所以，对此给定
，
，当 时，有
即
注：由该证法可以看出，对任意正数序列
，若存在一个收敛数列
收敛，且极限为
证法2
则有
证毕.
计算方法
对指数函数求导
注：其实任何满足微分方程
的解都必为形式
，其中
泰勒级数展开
存在任意阶的导数。将其在点
取 Peano形式的余项
(参见 泰勒公式词条)
故有
即得
限制精度
的具有某位精度的数值，比如说要求
的小数点前2000位的准确数值。此时Peano余项不够用了。我们换一个余项，例如—— Lagrange余项：
其中
。将
与
所以
故只要令
，求解出满足这个不等式的任意一个
，然后按照这个
