序列比较：把一个序列变成另一个序列的最少修改步骤
序列比较问题因其在分子生物学上的应用，今年来一起来人们不少的关注。序列比较问题还可以应用于文件比较和版本维护，比如有一个本地文件（或者程序）修改前后的版本，而需要能方便地抽取其中的不同部分。同一程序也可能有多个版本，如果版本之间相差不大，则在存储时只需要存储有差别的部分，而不必存储整个文件。这些情况下可能只用到插入和删除操作，对于其他情况则需要为不同的修改付出不同的代价。
令A=a1a2…an,B=b1b2…bn是两个字符串，其中字符取自一有限集合（如英语字母表）。有三种方法把A变为B：（1）插入，把某个字符插入字符串；（2）删除，从字符串中删除某个字符；（3）替换，把某个字符替换成另一个字符。例如，把abbc变成babb就可以：abbc->bbc->babc->babb，这样总共需要两步修改。
问题：寻求最少的修改步骤。
分析：通常情况下把一个字符串变成另一个字符串往往有多重方法，究竟哪个最佳还难以定论。下面就用归纳法来探索这个问题的解。记前缀子串a1a2…ai(b1b2..bi)为A(i)B(i)，问题转换为用最少的修改步骤将A(n)改为B(m)。
归纳：假设已知将A(n-1)改为B(m)的最佳方法（可能有多种不同的最佳方法，这里假设知道其中一种），那么只要把an删除就可以将A(n)改为B(m)，这样做是最佳的吗？那么我们还需要知道些什么信息？我们还需要知道把A(n-1)改为B(m-1)的修改次数以及把A(n)改为B(m-1)的修改次数，也就是需要知道对A、B改动最小的条件下构造出修改次数最少的步骤的所有可能性。
记C(i,j)为A(i)变成B(j)的最小代价，那么要关注的就是这个最小代价，而不是改动本身。我们感兴趣的是如何建立C(n,m)和某个C(i,j)之间的关系，这里i、j小于n、m。不难发现有4中可能性对应着3种操作和1种匹配：
删除：将an删除，于是最佳方法就是先把A(n-1)变成B(m)，然后再删除这个字符，即C(n,m)=C(n-1,m)+1
插入：如果A到B的最小改动需要插入某个字符与bm匹配，那么就有C(n,m)=C(n,m-1)+1。也就是先把A(n)以最小代价变成B(m-1)，然后再插入一个与bm相同的字符。
替换：如果用an替换bm，那么首先要找到A(n-1)到B(m-1)的最小改动，接下来若an不等于bm，还要加一。
匹配：如果an和bm相同，则C(n,m)=C(n-1,m-1)
总结：如何动态生成二维数组，这个二维数组如何寻址？有几种方法为二维数组分配内存？
记C(i,j)= {0(ai=bi), 1(ai ≠bi}
C(n,m)=min{ C(n-1,m)+1， C(n,m-1)+1，C(n-1,m-1)+c(n,m)（替换或者匹配）}
初始条件C(i,0)=I; C(0,j)=j
实现：
int min(int num1, int num2, int num3) { int less = (num1 < num2) ? num1 : num2; return (less < num3) ? less : num3; } int **arralloc(int row,int column) { if(row < 0 || column < 0) return 0; int **ptr = new int*[row]; //开辟m个int*型的数据 for(int i = 0; i < row; ++i) { ptr[i] = new int[column];//开辟column个int型的数据 memset(ptr[i],0,sizeof(int)*column); } return ptr; } int minimumchanges(const char *str1,const char *str2,int s1len, int s2len) { if(str1 == NULL || str1 == NULL) return -1; int row = strlen(str1); int column = strlen(str2); int **arr = arralloc(row,column); for(int i = 0; i < column; ++i) arr[0][i] = i; //为什么从1开始，因为arr[0][0]已经初始化了 for(int i = 1; i < row; ++i) arr[i][0] = i; for(int i = 1; i<row; ++i) { for(int j = 1; j < column; ++j) { int deletion = arr[i-1][j]+1; int insertion = arr[i][j-1]+1; int substitution; if(str1[i]==str2[j]) substitution = arr[i-1][j-1]; else substitution = arr[i-1][j-1]+1; arr[i][j] = min(deletion,insertion,substitution); } } int minchanges = arr[row-1][column-1]; for(int i = 0; i<row; ++i) delete []arr[i]; delete []arr; return minchanges; } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { minimumchanges("Saturday","Sunday",8,6); return 0; }
