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文章目录

• 前言
• 一、概念

• 1.场的概念：
• 2.场的分类：
• 3.数量场的等值面：
• 4.矢量场中的矢量线：
• 5.数量场中的方向导数：
• 6.数量场中梯度
• 7.哈密顿算子
• 8.矢量场中的通量
• 9.矢量场中的散度
• 10.矢量场中的环量
• 11.矢量场中的环量密度
• 12.矢量场中的旋度

• 二、重要公式
• 三、亥姆霍兹定理
• 四、笔记源自马西奎老师的课程

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前言

打算做一个电磁场到微波工程的系列笔记

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一、概念

1.场的概念：

      每一时刻，一个物理量在空间中的每一点都有一个确定的值

2.场的分类：

      如果这个物理量只有大小没有方向，我们把这种量叫作数量场（标量场）。
      例子：u(x,y,z,t)
      如果这个物理量既有大小又有方向，我们把这种量叫作矢量场。
      例子：$\overrightarrow{A}\left( x,y,z,t\right)$
      如果这个场不随时间变化，我们把这个场叫作稳定场（恒定场）。
      如果这个场随时间变化，我们把这个场叫作时变场。

3.数量场的等值面：

      同一时间，数量场中函数值相同的点所组成的曲面叫作数量场的等值面。
      例子：u=u(M)（u=u(x,y,z)）
      数量场中等值面有无数个       任意两个不同的等值面绝不相交       画等值面时要求两个等值面之间相差的值相等，目的是为了观察电磁场变化的快慢（如果C3和C2之间的距离大于C2和C1之间的距离，说明在C3和C2之间电磁场变化的速度慢了）

4.矢量场中的矢量线：

      矢量线反映了矢量的方向在空间的变化情况
      矢量的方向与矢量线的切线方向相同       一个矢量场中有无数多跟矢量线       任意两根矢量线不可能相交       矢量变化比较快的地方，矢量线密集

5.数量场中的方向导数：

$\overrightarrow{l}$方向对距离的变化率
      $\dfrac{\partial u}{\partial l}| _{M_{0}}=\lim _{\Delta l\rightarrow 0}\dfrac{u\left( M\right) -u\left( M_{0}\right) }{\Delta l}$
      全增量用全微分表示       $\begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial l}| _{M_{0}}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\dfrac{\partial x}{0z}\cos \gamma \end{aligned}$
      $\overline{l}=\cos \alpha \overrightarrow{e}_{x}+\cos \beta \overrightarrow{e_{y}}+\cos \gamma \overrightarrow{e}_{z}$

6.数量场中梯度

      梯度的方向是沿场量变化最大的方向
      $\dfrac{\partial u}{\partial l}=gradu\cdot \overrightarrow{l}$
      $grad u=\dfrac{\partial u}{\partial x}\overrightarrow{e}_{x}+\dfrac{\partial u}{\partial y}\overrightarrow{e}_{y}+\dfrac{\partial u}{\partial z}E_{z}$
      方向导数为梯度在$\overrightarrow{l}$方向的投影
      等值面上一点的最大变换方向是它的法线方向；切线方向变化为0

7.哈密顿算子

$\nabla =\dfrac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{e}_{x}+\dfrac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{e}_{y}+\dfrac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{z}$
      同时具有矢量性与微分性，首先作用的是矢量性

8.矢量场中的通量

$\Phi =\oint_{s} \overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{S}$
      通量代表从闭合面内部穿出它的通量与外部进入的通量的代数和。
      $\Phi >0$:穿出大于穿入，里面有正源
      $\Phi <0$:穿入大于穿出，里面有负源
      我们只是知道了这个曲面的整体情况，但不知道正源有多少，负源有多少

9.矢量场中的散度

$div\overrightarrow{A}=\lim _{\Delta V\rightarrow 0}\dfrac{\oint _{s}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{S}}{\Delta V}$
      $\overrightarrow{A}\left( x,y,z\right)=A_{x}\overrightarrow{e_{x}}+A_{y}\overrightarrow{e_{y}}+A_{z}\overrightarrow{e_{z}}$

$div\overrightarrow{A}=\dfrac{\partial A_{x}}{\partial x}+\dfrac{\partial A_{y}}{\partial y}+\dfrac{\partial A_{z}}{\partial z}$
      $div\overrightarrow{A}=\nabla \cdot \overrightarrow{A}$
      散度反应了某一点领域的单位体积里面源分布的情况。
      散度大于零，矢量线从该点发出；散度小于零，矢量线在该点截止；散度等于零，矢量线平滑穿过该点       例子：
      $\nabla \cdot \overrightarrow{J}$表示由一点流出的电流

10.矢量场中的环量

$Q=\oint _{L}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}$
      其中$\overrightarrow{l}$为有向闭合曲线
      如果我们在某一点的邻域沿某一个环路对这个矢量进行积分，如果这个积分不为0，则初步判断有漩涡，但不知道漩涡的轴在哪

11.矢量场中的环量密度

$q=\lim _{\Delta s\rightarrow 0}\dfrac{\oint _{L}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}}{\Delta S}$

$\begin{aligned}q=\left( \dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z}\right) \cos \alpha + \left( \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x}\right) \cos \beta +\left( \dfrac{\partial A_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}\right) \cos \gamma \end{aligned}$

12.矢量场中的旋度

$q=rot\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}$
      $\overline{n}=\cos \alpha \overrightarrow{e}_{x}+\cos \beta \overrightarrow{e_{y}}+\cos \gamma \overrightarrow{e}_{z}$
      $rot\overrightarrow{A}=\nabla \times \overrightarrow{A}$
      $rot\overrightarrow{A}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e}_{x} & \overrightarrow{e_{y}} & \overrightarrow{e}_{z} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{vmatrix}$
旋度的方向就是这一点环量密度最大的方向，也就是垂直于环路的法线的方向(轴）

二、重要公式

$\nabla \cdot \left( \overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}\right) =\overrightarrow{B}\cdot \nabla \times \overrightarrow{A}-\overrightarrow{A}\cdot \nabla \times \overline{B}$
$\nabla \times \left( u\overrightarrow{A}\right) =u\nabla \times \overrightarrow{A}+\nabla u\times \overrightarrow{A}$
$\nabla \times \left( \nabla u\right) \equiv 0$
$\nabla \cdot \left( \nabla \times \overrightarrow{A}\right) \equiv 0$
$\nabla \cdot \left( \nabla \upsilon \right) =\nabla ^{2}u$拉普拉斯算子$\nabla ^{2}u=\dfrac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}$
在源分布的区域，对待求的函数求拉普拉斯算子，若拉普拉斯算子不等于0，表示有源存在$\nabla \times \left( \nabla \times \overrightarrow{A}\right) =\nabla \cdot \left( \nabla \cdot \overrightarrow{A}\right) -\nabla ^{2}\overrightarrow{A}$矢量的拉普拉斯算子

三、亥姆霍兹定理

在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度，旋度和边界条件唯一地确定

四、笔记源自马西奎老师的课程