灰关联分析法是机器学习方法吗 灰色关联分析法的应用

灰色关联分析

  灰色关联分析的基本思想 是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之则越小。

  此方法可用于 进行系统分析，也可应用于对问题 进行综合评价。

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目录

• 灰色关联分析
• 一、概述
• 二、模型实现

• 1. 应用一：进行系统分析
• 2. 应用二：进行综合评价问题

• 三、模型扩展（★）

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一、概述

哪些是主要因素，哪些是次要因素；哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小；哪些因素对系统发展起推动作用需强化发展，哪些因素对系统发展起阻碍作用需加以抑制；这些都是系统分析中人们普遍关心的问题。例如，粮食生产系统,人们希望提高粮食总产量，而影响粮食总产量的因素是多方面的，有播种面积以及水利、化肥、土壤、种子、劳力、气候、耕作技术和政策环境等。为了实现少投人多产出，并取得良好的经济效益、社会效益和生态效益，就必须进行系统分析。

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二、模型实现

灰色关联分析步骤实现大致分为以下几个步骤：

1. 指标正向化
2. 确定分析数列
3. 对变量进行预处理
4. 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
5. 计算灰色关联度，并得出结论

在实际建模中，以上步骤不是特别固定，要根据实际的问题进行分析，下面拿两道例题进行说明。

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1. 应用一：进行系统分析

  下表为某地区国内生产总值的统计数据（以百万元计），问该地区从 2000 年到 2005 年之间，哪一种产业对 GDP 总量影响最大。

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第一步：指标正向化

 所谓正向化处理，就是将极小型、中间型以及区间型指标统一转化为极大型指标。具体的正向化方法请查看：TOPSIS法（优劣解距离法）

 最终得到正向化处理的矩阵为X：
$X= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots &x_{1m} \\ x_{21}& x_{22} & \cdots &x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1}& x_{n2} & \cdots &x_{nm} \end{bmatrix}$

因为指标变量 国内产值、第一产业、第二产业、第三产业 都是为正向化指标，因此无需正向化。

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第二步：确定分析数列

1. 母序列（又称参考数列，母指标）：能反映系统应为特征的数据序列，其类似于因变量 $Y$，此处记为 $x_0$。
2. 子序列（又称比较数列，子指标）：影响系统行为的因素组成的数据序列，其类似于自变量 $X$，此处级位$（x_1,x_2,\cdots,x_m）$

在本例中，国内总产值就是母序列，第一、第二和第三产业就是子序列。

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第三步：对变量进行预处理

对变量进行预处理的目的：1. 去除量纲的影响 2. 缩小变量范围简化计算

  对母序列和子序列中的每个指标进行预处理，先求出每个指标的均值，再用该指标中的每个元素都除以其均值。

设标准化矩阵为 $Z$，$Z$ 中元素记为 $z_{ij}$：
$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\bar x_{ij}}$
得到标准化矩阵 Z：
$Z= \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots &z_{1m} \\ z_{21}& z_{22} & \cdots &z_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n1}& z_{n2} & \cdots &z_{nm} \end{bmatrix}$

本例中，得到的最终标准化矩阵矩阵为：

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第四步：计算子序列中各个指标与母序列的关联系数

定义灰色系数，即各指标的关联系数为：
$y(x_0(k),x_i(k))=\frac{a+\rho b}{\mid x_0(k)-x_i(k)\mid + \rho b}\quad( i=1,2,\cdots,m,\quad k=1,2,\cdots,n)$

其中a 为两极最小差，b 为两极最大差，ρ 为分辨系数（一般取值0.5）

$a=\mathop{min}\limits_{i}\mathop{min}\limits_{k} \mid x_0(k) -x_i(k)\mid\\ b=\mathop{max}\limits_{i}\mathop{max}\limits_{k} \mid x_0(k) -x_i(k)\mid$

那么根据以上步骤首先得出中间的差值矩阵：

根据以上矩阵得出 两级最小差 $a$ = 0.0006，两级最大差 $b$

最后根据关联系数公式，最终计算得出关联系数矩阵：

举例说明：$0.4751 = \frac{( a + ρb ) }{( | x_0(1)-x_1(1) | + ρb )} = \frac{( 0.0006 + 0.5×0.1862)}{(0.1041 + 0.5×0.1862)}$

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第五步：计算灰色关联度，并得出结论

定义 $y(x_0, x_i)$

$y(x_0,x_i)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{y(x_0(k),x_i(k))}$

那么我们得出： $y(x_0, x_1)= 0.5084，y(x_0, x_2) = 0.6243，y(x_0, x_3) = 0.7573。$

最终我们得出该地区在2000年至2005年间的国内总产值受第三产业影响最大。

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2. 应用二：进行综合评价问题

综合评价问题的步骤大致分为以下几步：

1. 对指标进行正向化
2. 对正向化矩阵进行预处理
3. 将预处理后的具有真每一行取出最大值构成母序列
4. 计算各个指标与母序列的灰色关联度
5. 计算各个指标的权重
6. 计算每个评价对象的得分

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  上面步骤加红的部分，值得注意，当指标间没什么关系的时候，选择每行中最大的构成母序列。

  前四步，与上文的应用一对应，接下来求得指标的权重是将求得的灰色关联度进行归一化。然后计算每个评价对象的得分。上文我们通过标准化处理得到标准化矩阵 Z：
$Z= \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots &z_{1m} \\ z_{21}& z_{22} & \cdots &z_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n1}& z_{n2} & \cdots &z_{nm} \end{bmatrix}$

最后计算每个评价对象的得分：
$S_k=\sum_{i=1}^{m}{Z_{ki}\omega_i},\quad k=1,2,\cdots,n$

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三、模型扩展（★）

1. 选择用标准化回归或者灰色关联分析的具体时机：
   当样本个数 n 较大时，一般使用标准化回归。当样本个数较少时，选择使用灰色关联分析。
2. 如果母序列中含有多个指标应如何分析？
   例如：Y1 和 Y2 是母序列，X1,X2,…,Xm 是子序列。那么应首先计算 Y1 和 X1,X2,…,Xm 的灰色关联度进行分析，然后再计算 Y2 和 X1,X2,…,Xm 的灰色关联度进行分析。
3. 灰色关联分析与熵权法都可进行客观的赋权，主要区别在于熵权法是根据数据的变异程度进行赋权，而灰色关联分析是根据序列几何形状的相似程度来进行赋权。这里推荐用熵权法，如果要用灰色关联分析，那么就需要有相应的统计图，这样更具说服力。
4. 灰色数学的相关概念是国人提出来的，美赛不建议用！

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  本文借鉴了数学建模清风老师的课件与思路，如果大家发现文章中有不正确的地方，欢迎大家在评论区留言，也可以点击查看下方链接查看清风老师的视频讲解~