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综合评价与决策方法04——灰色关联分析法

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数学建模

• 综合评价与决策方法04——灰色关联分析法
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• 一、灰色关联分析法

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前言

评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、层次分析法、功效系数法等。另一类是客观赋权，根据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权数，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也称TOPSIS法）等。 目前国内外综合评价方法有数十种之多，其中主要使用的评价方法有主成分分析法、因子分析、TOPSIS、秩和比法、灰色关联法、熵权法、层次分析法、模糊评价法、物元分析法、聚类分析法、价值工程法、神经网络法等。

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一、灰色关联分析法

灰色关联度分析具体步骤如下:

（1）确定比较数列和参考数列

设评价对象有$m$个，评价指标变量有$n$个，每个指标变量$x_j(j=1,2,\cdots,n)$都是效益型指标变量。比较数列为
$a_i={a_i(j)|j=1,2,\cdots,n}$，$i=1,2,\cdots,m$
这里$a_i(j)$是第i个评价对象关于第$j$个指标变量$x_j$的取值。
参考数列为$a_0={a_0(j)|j=1,2,\cdots,n}$，一般取$a_0(j)=\max {1\le i\le m}{a_i(j)}$，即参考数列相当于一个虚拟的最好评价对象的各指标值。

（2）确定各指标对应的权重
可用层次分析法等确定各指标对应的权重$\mathbf{w}=[w_1,\cdots,w_n]$，其中 ，$j=1,2,\cdots,n$为第$j$个评价指标对应的权重。

（3）计算灰色关联系数
$\xi_i(j)=\frac{{{min}}{1\le s\le m}{{min}}{1\le t\le n}\left|a_0(t)-a_s(t)\right|+\rho{{max}}{1\le s\le m}{{max}}{1\le t\le n}\left|a_0(t)-a_s(t)\right|}{\left|a_0(j)-a_i(j)\right|+\rho{{max}}{1\le s\le m}{{max}}{1\le t\le n}\left|a_0(t)-a_s(t)\right|}，$$i=1,2,\cdots,m，j=1,2,\cdots,n.$
为比较数列$a_i$对参考数列$a_0$在第$j$个指标上的关联系数，其中$\rho\in[0,1]$为分辨系数。其中，称${{min}}{1\le s\le m}{{min}}{1\le t\le n}\left|a_0(t)-a_s(t)\right|、{{max}}{1\le s\le m}{{max}}{1\le t\le n}\left|a_0(t)-a_s(t)\right|$分别为两级最小差及两级最大差。
一般来讲，分辨系数$\rho$越大，分辨率越大；$c$越小，分辨率越小。

（4）计算灰色加权关联度
灰色加权关联度的计算公式为
$r_i=\sum_{k=1}^{n}{w_k\xi_i(k)}，$
式中，$r_i$为第$i$个评价对象对理想对象的灰色加权关联度，若没有给出各指标变量的权重，各指标变量就取相等的权重，即$w_j=1/n，j=1,2,\cdots,n$。