用python编辑应力分量公式 求解应力分量

应力分析（2）¹

应力分量的坐标变换

新坐标系中的3个正面分别看作是旧坐标系中的斜面，应用斜面公式（Cauchy公式），可以导出新旧坐标系中应力分量的变换关系。

$[\sigma ^\prime]=[\beta][\sigma][\beta]^T \tag{1.20}$

式中$[\beta]$为新坐标系三个基矢量在旧坐标系三个轴上的投影组成的矩阵。

$[\beta]=\left [ \begin{matrix} l_1 & m_1 & n_1\\ l_2 & m_2 & n_2 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{matrix} \right ]$，$[\sigma]=\left [ \begin{matrix} \sigma_x & \tau_{xy} &\tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{matrix} \right]$

张量表示为
$\sigma_{m$
式中$\beta_{n$是$\boldsymbol{e$在$\boldsymbol{e}_j$上的投影。

主应力、应力张量不变量

根据斜面公式，给定一点的应力状态，即$\sigma$已知，各斜面上的应力矢量$\boldsymbol{T(n)}$随斜面外法线方向$\boldsymbol{n}$而改变。根据材料力学知识，在所有的斜面中存在这样的一个面，该面上只有正应力作用，而剪应力为零，即该面上的应力矢量$\boldsymbol{T(n)}$只有沿法线方向的分量。下面求这个斜面的单位法线矢量$\boldsymbol{n}$以及该面上的正应力$\sigma$。
正应力与该面上的应力矢量的关系可表示为

$\boldsymbol{T(n)}=\sigma \boldsymbol{n}$

写成分量形式为
$T_x=\sigma l,T_y=\sigma m,T_z=\sigma n$

代入应力分析（1）的公式（1.6）
$T_x=\sigma_{x}l+\tau _{yx}m+\tau_{zx}n \\ T_y=\tau_{xy}+\sigma_{y}m+\tau_{zy}n \\ T_z=\tau_{xz}+\tau_{yz}m+\sigma_{z} n \tag{1.6}$

整理可得
$(\sigma_x-\sigma)l+\tau_{yx}m+\tau_{zx}n=0\\ \tau_{xy}l+(\sigma_y-\sigma)m+\tau_{zy}n=0 \\ \tau_{xz}l+\tau_{yz}m+(\sigma_z-\sigma)n=0 \tag{1.23}$

式（1.23）是关于$l、m、n$的齐次方程，由于$l^2+m^2+n^2=1$，因此，$l、m、n$不可能同时为零，即方程（1.23）应有非零解。非零解的条件是其系数矩阵行列式为零。
$\left| \begin{matrix} \sigma_x-\sigma &\tau_{xy} &\tau_{xz}\\ \tau_{yx} &\sigma_y-\sigma &\tau_{yz}\\ \tau_{zx} &\tau_{zy} &\sigma_z-\sigma \end{matrix} \right | =0$

展开可得一个一元三次方程组，该方程数学上称为特征方程
$\sigma^3-I_1\sigma^2+I_2\sigma-I_3=0 \tag{1.24}$

式中$I_1、I_2、I_3$分别为
$I_1=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z=\sigma_{kk} \\ I_2=\sigma_x\sigma_y+\sigma_x\sigma_z+\sigma_y\sigma_z-(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{zx}^2)\\ =\left| \begin{matrix} \sigma_x & \tau_{xy}\\ \tau_{yx} &\sigma_y \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \sigma_y & \tau_{yz}\\ \tau_{zy} &\sigma_z \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \sigma_z & \tau_{zx}\\ \tau_{xz} &\sigma_x \end{matrix} \right| \\ I_3=\sigma_x\sigma_y\sigma_z-(\sigma_x\tau_{yz}^2+\sigma_y\tau_{zx}^2+\sigma_z\tau_{xy}^2)+2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx} \\= \left| \begin{matrix} \sigma_x & \tau_{xy} &\tau_{xz}\\ \tau_{yz} &\sigma_y &\tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} &\sigma_z \end{matrix} \right| \tag{1.25}$
使用张量表示为
$I_1=\sigma_{kk}\\ I_2=\frac{1}{2}(I_1^2-\sigma_{ij}\sigma_{ij})\\ I_3=\frac{1}{3}(3I_1I_2-I_1^3)+\sigma_{ij}\sigma_{jk}\sigma_{ki} \tag{1.26}$
主应力有3个重要性质：

1）极值性

最大（最小）主应力是该点任意面上正应力的最大（最小）者。

2）主方向互相垂直

3）$I_1、I_2、I_3$的坐标不变性

$I_1、I_2、I_3$的大小与坐标系的选取无关，因此是坐标不变量。

在以3个主轴为坐标轴的坐标系下，应力张量可表示为
$[\sigma_{ij}]= \left[ \begin{matrix} \sigma_1 &0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 &0 \\ 0 & 0& \sigma_3 \end{matrix} \right]$
三个不变量用主应力表示为
$I_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3\\ I_2=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1\\ I_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3 \tag{1.28}$

最大剪应力

设3个主应力及主应力方向已知，求最大剪应力。以3个主方向为其坐标轴方向，其单位矢量是KaTeX parse error: Undefined control sequence: \vect at position 1: \̲v̲e̲c̲t̲{e_1}、\vect {e_…，如图所示。推导思路：斜面公式–>求极值–>拉格朗日乘子。

该斜面上的应力矢量是
$\boldsymbol{T(n)}=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{ e}_1)l+\boldsymbol{T}(\boldsymbol{ e}_2)m+\boldsymbol{T}(\boldsymbol{e}_3)n \\=l\sigma_1\boldsymbol{e}_1+m\sigma_2\boldsymbol{e}_2+n\sigma_3\boldsymbol{e}_3 \tag{1.29}$

该斜面上的正应力是
$\sigma_n=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})\cdot \boldsymbol{n}=l^2\sigma_1+m^2\sigma_2+n^2\sigma_3 \tag{1.30}$
斜面上的剪应力为
$\tau_n^2=\|\boldsymbol{T}\|^2-\sigma_n^2 \tag{1.32}$

结果：设$\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$，则最大剪应力是

$\tau_{max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} \tag{1.33}$

所在的平面与中应力$\sigma_2$平行而与最大主应力$\sigma_3$和最小主应力$\sigma_3$的角度分别为$45^\circ$。

Mohr应力圆

根据式（1.30）和式（1.32），任一斜面上的正应力$\sigma_n$和剪应力$\tau_n$随斜面外法线方向余弦l、m、n而变化，将每一个斜面上的$\sigma_n$和$\tau_n$使用$\sigma - \tau$坐标系上的坐标点表示，所有这些坐标点所组成的图形称之为Mohr图。

设$\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$，可推导出应力圆

$\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_2+\sigma_3}{2})^2\geq(\frac {\sigma_2-\sigma_3}{2})^2\\ \tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_3+\sigma_1}{2})^2\leq(\frac{\sigma_3-\sigma_1}{2})^2\\ \tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2})^2\geq(\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2})^2$

由这三个不等式可知：任意一斜面的应力$\sigma_n、\tau_n$在$\sigma - \tau$坐标系中，均落在$\sigma_1、\sigma_2、\sigma_3$决定的3个圆上或者圆之间的阴影面积内。如下图所示，这三个圆称之为Mohr应力圆，简称为Mohr圆或应力圆。

偏应力张量及其不变量

一点的应力状态可以分解为：静水压力状态和偏应力状态之和。静水压力状态是指微六面体的每个面上只有正应力作用，而剪应力为零，正应力大小均为平均应力

$\sigma_0=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3) \tag{1.40}$

即

$[\sigma_0\delta_{ij}]= \left[ \begin{matrix} \sigma_0 & 0 &0\\ 0 & \sigma_0 & 0\\ 0 & 0 & \sigma_0 \end{matrix} \right]$

式中$\delta_{ij}$是Kronecker符号。$\sigma_0\delta_{ij}$称为球形张量。

偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分，表示为
$[s_{ij}]= \left[ \begin{matrix} \sigma_x -\sigma_0 & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} &\sigma_y -\sigma_0 & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} &\sigma_z-\sigma_0 \end{matrix} \right] \tag{1.41}$
偏应力$s_{ij}$也是一个对称的二阶张量。

上述的应力分解用张量表示为
$\sigma_{ij}=s_{ij}+\sigma_0\delta_{ij}$

静水压力状态的特点

任意斜面上的剪应力为零；Mohr应力圆退化为$\sigma$轴上的一点；这是一种各个面上应力都相同的状态。

偏应力的主值和不变量

偏应力张量$s_{ij}$所代表的应力状态有什么的特点？将式（1.24）和试（1.25）中的$\sigma_{ij}$用$s_{ij}$替代，则求得偏应力主值的特征方程为
$\boldsymbol{s}^3-J_1\boldsymbol{s}^2-J_2\boldsymbol{ s}-J_3=0 \tag{1.42}$
式中
$J_1=\sigma_x-\sigma_0+\sigma_y-\sigma_0+\sigma_z-\sigma_0=s_{kk}=0\\ J_2= -\left| \begin{matrix} \sigma_x-\sigma_0 &\tau_{xy}\\ \tau_{yz} &\sigma_y-\sigma_0 \end{matrix} \right| -\left| \begin{matrix} \sigma_y-\sigma_0 &\tau_{yz}\\ \tau_{xy} &\sigma_z-\sigma_0 \end{matrix} \right| -\left| \begin{matrix} \sigma_z-\sigma_0 &\tau_{zx}\\ \tau_{xz} &\sigma_x-\sigma_0 \end{matrix} \right| \\ =\frac{1}{6}[(\sigma_x-\sigma_y)^2+(\sigma_y-\sigma_z)^2+(\sigma_z-\sigma_x)^2-6(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2-\tau_{zx}^2)]=\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij} \\ J_3= \left| \begin{matrix} \sigma_x-\sigma_0 & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y-\sigma_0 & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} &\sigma_z-\sigma_0 \end{matrix} \right| =\frac{1}{3}s_{ij}s_{jk}s_{ki} \tag{1.43}$

解方程（1.42）可得偏应力的三个主值
$s_1=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin \left (\theta_\sigma+\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \right)\\ s_2=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin(\theta_\sigma) \\ s_3=\frac{2\sqrt{J_2}}{3}\sin\left( \theta_\sigma-\frac{2\pi}{3}\right) \tag{1.44}$
式中$\theta_\sigma$称为Lode角，为
$\theta_\sigma=\frac{1}{3}sin^{-1}\left[ \frac{-\sqrt{27}J_3}{2(J_2)^{3/2}}\right] \tag{1.45}$
由应力状态分解的关系（1.41）可以得出主应力可表示为
$\sigma_1=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin \left (\theta_\sigma+\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \right)+\sigma_0\\ \sigma_2=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin(\theta_\sigma) +\sigma_0\\ \sigma_3=\frac{2\sqrt{J_2}}{3}\sin\left( \theta_\sigma-\frac{2\pi}{3}\right)+\sigma_0$

表示为
$\sigma_1=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin \left (\theta_\sigma+\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \right)+\sigma_0\\ \sigma_2=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin(\theta_\sigma) +\sigma_0\\ \sigma_3=\frac{2\sqrt{J_2}}{3}\sin\left( \theta_\sigma-\frac{2\pi}{3}\right)+\sigma_0$

---

1. 陈明祥. 弹塑性力学[M]. 北京: 科学出版社, 2007. ↩︎