初等变换求逆矩阵 python 初等变换求逆矩阵步骤

本篇笔记首先回顾了伴随矩阵法求逆矩阵，因为过程过于复杂，所以引出初等变换法求逆矩阵，并推导了初等变换法求逆矩阵的思路；然后通过一个例子介绍了初等变换法求逆矩阵的过程，并对注意事项进行了总结；最后还讨论了通过初等变换判断矩阵可逆性、初等变换与行列式值的关系以及初等变换法求逆矩阵解题过程思路和总结。

1 初等变换法求逆矩阵

在之前的博客【线性代数学习笔记（十三）——逆矩阵（二）】介绍过伴随矩阵法求逆矩阵，即$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$。但在考试做题时从来不用伴随矩阵法求逆矩阵，因为该方法计算量非常大，过于复杂而且容易出错。在考试做题时一般用初等变换法求逆矩阵。

假设$A$可逆，那么$A^{-1}$也可逆，并且$(A^{-1})^{-1}=A$。
根据上一篇博客【线性代数学习笔记（十六）——初等变换（二）】定理5可知：
$A^{-1}$可以表示成一些初等矩阵（$Q_1, Q_2, ..., Q_T$）的乘积，
即：$A^{-1}=Q_1Q_2... Q_T\qquad①$，
在$①$式两边同时右乘$A$，得到：
$\color{red}{Q_1Q_2... Q_T\underline{A}=E\qquad②}$
在$①$式初等矩阵后右乘单位阵$E$，得到：
$\color{red}{Q_1Q_2... Q_T\underline{E}=A^{-1}\qquad③}$

现在的问题是：给定矩阵$A$，求$A^{-1}=?$
观察$②$式不难发现，$A$左乘$Q_T, ..., Q_2Q_1$，相当于经过了$t$次初等行变换，最终$A$化为单位阵$E$；
观察$③$式同样发现，$E$左乘$Q_T, ..., Q_2Q_1$，相当于经过了$t$次初等行变换，最终$E$化为单位阵$A^{-1}$。

将上述$②$式和$③$式一起看的话，$A$和$E$都做同样的一些初等行变换（同时左乘$Q_1Q_2... Q_T$），当$A$化为$E$时，$E$得到的就是$A^{-1}$。

该方法称为：初等行交换法。
表示为：$(A, E)\xrightarrow{只做行变换}(E, A^{-1})$

2 解题过程和注意事项

例2：求矩阵$\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\-3&2&-5\end{bmatrix}$的逆矩阵。
解：$(A, E)=\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&&\\2&1&0&&1&\\-3&2&-5&&&1\end{array}\right]$

$\xrightarrow[第一行{\times}3加到第三行]{第一行\times(-2)加到第二行}\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0\\0&1&-2&-2&1&0\\0&2&-2&3&0&1\end{bmatrix}$

$\xrightarrow{第二行\times(-2)加到第三行}\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0\\0&1&-2&-2&1&0\\0&0&2&7&-2&1\end{bmatrix}$

$\xrightarrow[第三行{\times}1加到第二行]{第三行\times(-\frac{1}{2})加到第一行}\begin{bmatrix}1&0&0&-\frac{5}{2}&1&-\frac{1}{2}\\0&1&0&5&-1&1\\0&0&2&7&-2&1\end{bmatrix}$

$\xrightarrow{第三行\times(\frac{1}{2})}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-\frac{5}{2}&1&-\frac{1}{2}\\0&1&0&5&-1&1\\0&0&1&\frac{7}{2}&-1&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

所以：$A^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{5}{2}&1&-\frac{1}{2}\\5&-1&1\\\frac{7}{2}&-1&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$

注意：
① 先处理第一列，然后第二列，再第三列，依次朝后；
② 每次处理一整行，对整行进行操作；
③ 第一列处理好后，第一行不再主动参与运算；
④ 处理过程使用箭头符号，如：$()\to()\to()$，不能使用等号；
⑤ 只做初等行变换；
⑥ 如果左边化不成单位阵，说明矩阵不可逆。

3 初等变换法与矩阵可逆性

如矩阵$\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&9\\4&8&18\end{bmatrix}$

$(A, E)=\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&&\\2&4&9&&1&\\4&8&18&&&1\end{array}\right]$

$\xrightarrow[第一行\times(-4)加到第三行]{第一行\times(-2)加到第二行}\begin{bmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&0&3&-2&1&0\\0&0&6&-4&0&1\end{bmatrix}$

$\xrightarrow{第二行\times(-2)加到第三行}\begin{bmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&0&3&-2&1&0\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&-8&-2&1\end{bmatrix}$

我们发现，矩阵左边无法化为单位阵，所以上述矩阵不可逆。

如果只看左边的初等变换过程，即：
$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&9\\4&8&18\end{bmatrix}{\to}B=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&3\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\end{bmatrix}$

可以看出$|B|=0$，那么$|A|$是否等于零呢？

做初等行变换有三种：
① 矩阵交换两行$\to$其行列式变号；
② 用非零数乘以某行$\to$其行列式变为原来的非零倍；
③ 某行的$l$倍加到另一行$\to$其行列式值不变。
所以不管是做什么初等行变换，若原来行列式值为零，变换后行列式值也为零，若原来行列式值为非零，那么变换后行列式值也为非零。
所以$|B|=0$，那么$|A|=0$。

此类题的解题过程为：$(A,E){\to}...{\to}(E,██)$，$A^{-1}=██$。记得验算！
验算方法：$A██=E?$，此过程在草稿上完成。

上述过程不仅仅是求逆矩阵，后面求线性方程组也是类似的过程，求向量组的极大线性无关组和上述解题过程完全一样，所以上述解题思路和过程非常重要！

4 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.6 初等变换（三）