深度学习 梯度下降法 梯度下降算法流程

　　看了很多博文，一谈到梯度下降，大多都在画图，类比“下山”。对于一开始想要了解“梯度下降”是个什么玩意儿时，这种类比法是非常有助于理解的。但是，当我大概知道了梯度下降是什么东西之后，我就好奇了，梯度下降究竟是怎样寻找到模型的最优参数的？不能一想到梯度下降，脑海中就只有“下山”的画面，“下山”不是目的，目的在于“下山”的过程中确立参数。下面就简单概述一下，梯度下降过程是如何一步一步寻找到模型的最优参数。

1.梯度下降相关概念：

• 假设函数（hypothesis function）：

　　所谓假设函数，就是监督学习中，我们拟合样本特征映射到目标变量的函数，记为 h_θ(x)，θ为函数的参数。例如，一个简单的线性回归拟合函数可以表示为：h_θ(x) = θ₀ + θ₁·x；

• 损失函数（loss function）：

　　又称为代价函数。通常用损失函数来度量拟合的程度，从而评估模型拟合的好坏，记为 J(θ)。注意，损失函数是关于 θ 的函数！也就是说，对于损失函数来讲，θ不再是函数的参数，而是损失函数的自变量！例如，对于线性回归的损失函数可以表示为：　　

　　　　J(θ) = 1/(2 *n) * ∑ ( h_θ(x_i)− y_i )² 　　

　　其中 n 表示样本数量， x_i 表示第 i 个样本特征，y_i 表示第 i 个样本对应的目标变量的真实值，h_θ(x_i) 为假设函数。 当我们计算损失时，是将每个样本中的特征 x_i 和对应的目标变量真实值 y_i 带入损失函数，此时，损失函数中就只剩下 θ 是未知的。

 　　例如，我们的假设函数为： h_θ(x) = θ₀ + θ₁·x₁ + θ₂·x₂² ，其中一个样本为 x^₁ = (1，2)，对应的目标变量 y^₁= 10。将x¹ 和y¹ 带入损失函数，则对于该样本 x¹ 拟合的损失表示为： θ₀ + θ₁ + 4*θ₂ -10 ；此时，损失函数就是关于θ 的函数了。 每一个样本都会有一个拟合损失，将所有样本的损失相加，就是整个样本集的拟合损失。

• 损失函数的梯度：

　　损失函数的梯度即对 θ_i 求偏导，由于损失函数是关于 θ 的函数，因此，θ 的取值不同，得出来的的梯度向量也是不同的。借用“下山”的比喻来解释，θ 的不同取值，相当于处于山上的不同位置，每一个位置都会计算出一个梯度向量 ▽J(θ) 。

2. 梯度下降过程

(1) 学习得到损失函数 J(θ) 及样本点xⁱ 的损失：

　　　　例如，对于线性回归模型的假设函数为： h_θ(x) = θ₀ + θ₁·x₁ + θ₂·x₂ ，则损失函数为：J(θ) =  1/(2 *n) * Σ（θ₀ + θ₁·x₁ + θ₂·x₂ - y）²；我们为样本添加一个维度x₀  ，x₀ 恒等于 1。则，我们可以变损失函数表示为：J(θ) =  1/(2 *n) * Σ（θ₀·x₀ + θ₁·x₁ + θ₂·x₂ - y）²

　　　　为了便于讲解和理解，我们先只取一个样本点进行计算。对于样本点 x^₁ = (x₀ = 1，x₁ = 1，x₂ = 2)，对应的目标变量 y^₁ = 10，的损失为：J(θ)¹ =  1/2 *（θ₀ + θ₁+ 2*θ₂ - 10）²

(2) 求出样本点 xⁱ 损失函数的梯度向量：

　　　　根据 J(θ) ，求出模型损失函数的梯度向量表示为 ： ▽J(θ) = <（θ₀·x₀ + θ₁·x₁ + θ₂·x₂ - y）*x₀ ，（θ₀·x₀ + θ₁·x₁ + θ₂·x₂ - y）*x₁  ，（θ₀·x₀ + θ₁·x₁ + θ₂·x₂ - y）*x₂ >

　　　　根据 J(θ)¹ ，求出样本点 x_¹ 对应的梯度▽J(θ)¹ = <（θ₀+ θ₁ + 2*θ₂ - 10），（θ₀+ θ₁ + 2*θ₂ - 10），（θ₀+ θ₁ + 2*θ₂ - 10）*2 >

(3) 初始化假设函数的参数 θ ，得到相应的梯度向量：

　　　　对 θ 进行随机取值，假设θ_i 第一次全部取0，θ⁰ = < 0，0，0>；

　　　　将θ⁰ 带入 J(θ)¹ ，得到 取 θ⁰ 时的损失为 J(θ)₀¹  = 1/2 *（0 + 0+ 2*0 - 10）² = 50

　　　　将θ⁰ 带入▽J(θ)¹ ，得到 θ⁰ 处的梯度向量为 ▽J(θ)₀¹  =  < -10，-10，-20 > ；　　　

　　(4) 根据梯度下降步长，进行梯度下降迭代：

　　　　设立步长 α = 0.1 ，对 θ⁰ 进行梯度下降，得到 θ¹  

　　　　第一次梯度下降： 

　　　　θ¹ = θ⁰ - α * ▽J(θ)₀¹  = < 0，0，0 > - 0.1 * < -10，-10，-20 > = < 1，1，2 >

　　　　将θ¹ 带入 J(θ)¹ ，得到 取 θ⁰ 时的损失为 J(θ)₀¹  = 1/2 *（1 + 1+ 2*2 - 10）² = 8

　　　　将θ¹ 带入▽J(θ)¹ ，得到 θ⁰ 处的梯度向量为 ▽J(θ)₀¹  =  < -4，-4，-8 > ；

　　　　第二次梯度下降：

　　　　θ² = θ¹ - α * ▽J(θ)₀¹  = < 1，1，2 > - 0.1 * < -4，-4，-8 > = < 0.4，0.4，1.2 >

　　　　将θ² 带入 J(θ)¹ ，得到 取 θ² 时的损失为 J(θ)₀¹  = 1/2 *（0.4 + 0.4+ 2*1.2 - 10）² = 23.12

　　　　此时我们发现，θ² 处的损失为23.12，大于 θ¹ 处的损失8，说明，我们可能步子迈的大了，跨过了最低点，我们重新设定α = 0.05，重复上述过程：

重新设立步长 α = 0.05 

　　　　第一次梯度下降：

　　　　θ¹ = θ⁰ - α * ▽J(θ)₀¹  = < 0，0，0 > - 0.05 * < -10，-10，-20 > = < 0.5，0.5，1 >

　　　　将θ¹ 带入 J(θ)¹ ，得到 取 θ⁰ 时的损失为 J(θ)₀¹  = 1/2 *（0.5 + 0.5+ 2*1 - 10）² = 24.5

　　　　将θ¹ 带入▽J(θ)¹ ，得到 θ⁰ 处的梯度向量为 ▽J(θ)₀¹  =  < -7，-7，-14 > ；

　　　　第二次梯度下降：

　　　　θ² = θ¹ - α * ▽J(θ)₀¹  = < 1，1，2 > - 0.05 * < -7，-7，-14 > = < 1.35，1.35，2.7 >

　　　　将θ² 带入 J(θ)¹ ，得到 取 θ² 时的损失为 J(θ)₀¹  = 1/2 *（1.35 + 1.35+ 2*2.7 - 10）² = 1.805

　　　　将θ² 带入▽J(θ)¹ ，得到 θ² 处的梯度向量为 ▽J(θ)₀¹  =  < -1.9，-1.9，-3.8 > 

　　此时可以继续进行第三次、第四次。。。第n次，那么什么时候梯度下降停止？我们可以设置一个梯度下降算法终止距离值 ε，即梯度下降的距离都小于 ε 时，算法终止。假设我们设置 ε = 0.1（实际运用中，一般会设定一个更小的值，例如 1e-5），上述θ² 的梯度向量为< -1.9，-1.9，-3.8 >，梯度向量中的3个值的绝对值都大于ε ，因此继续进行梯度下降，假设经过n次迭代后的梯度向量为<-0.04，-0.04，-0.08>，三个值的绝对值都小于0.1，则算法终止。

　　通过上述过程可以看出，重新设置步长 α 后，第二次梯度下降过程没有跨过损失函数最低点，而是更加接近最低点。不断的梯度下降，使得损失函数损失在不断的变小：θ⁰ 的损失为50，θ¹ 的损失为24.5，θ² 的损失为1.805。 初始在本文的例子中，由于是我随便写的一个损失函数，所以经过2-3次梯度下降之后就接近了损失函数最低点，实际运用中当然不可能这么轻松，梯度下降可能要经过n次迭代，才能接近损失函数的极小值点。另外，梯度下降过程中，除了损失在不断减小，梯度向量也在不断变小：θ⁰ 的梯度为< -10，-10，-20 > ，θ¹ 的梯度为< -7，-7，-14 >，θ² 的梯度为< -1.9，-1.9，-3.8 >。梯度越来越小，说明”山坡“越来越平缓，不像一开始那么”陡峭“，那么可以说明，我们已经接近”山谷“了。实际上，随着不断的梯度下降，梯度向量中的每个值会越来月接近于0。

　　讲到这里，大家不要忘记一个事实：上述过程中，我们只选取了一个样本点 x^₁ 进行梯度下降。这种随机选取一个样本点进行梯度下降，找到最优参数θ的方法，就叫做随机梯度下降。而如果我们利用所有的样本数据进行梯度下降，这种方法就叫做批量梯度下降。毫无疑问，批量梯度下降要消耗更多的计算内存和训练时间；而随即梯度下降虽然训练速度快，但是可能得到只是局部最优解。我们也可以折中一下，一共有n个样本，我们取m个子样本进行梯度下降（1<m<n），既提高训练速度，又在一定程度上避免算法收敛到局部最优，这种方法就叫做小批量梯度下降。