有些东西，还是说清楚的好，比如超平面（hyperplane）这个东西。
- 直线、平面
在说超平面之前，先说说 Rn 空间中的直线和平面。给定 Rn 空间中的一点 p 和一非负向量 v⃗
i=tv⃗+p
的点
i 的集合称为
Rn 空间中的一条直线。上式中
t 是一个标量，向量
v⃗ 决定了该直线的方向。如图1所示：
图1：line figure illustration
相对的，给定 Rn 空间中的一点 p 和两个线性无关的向量 v⃗,w⃗
i=tv⃗+sw⃗+p
的点
i 的集合称为
Rn 空间中的一个平面。上式中
t,s 均是标量。如图2所示：
图2：plane figure illustration
更一般的，给定 Rn 空间中的一点 p 和线性无关的向量 v1→,v2→,...,vk→
i=t1v1→+t2v2→+...+tkvk→+p
的点
i 的集合称为
Rn 空间的一个k维仿射子空间（k-dimensional affine subspace）。因此，一条直线就是一个1维仿射子空间，一个平面就是一个2维仿射子空间。
- 直线的另一种表示
假设 R2 空间中的点集 i=(x,y)
ax+by+d=0(1)
其中
a,b,d 均为标量，并且
a,b 至少有一个不为0。假设
b 不为0，则
y=−abx−db
设
x=t,−∞<t<∞ ，则点集i可以表示为
i=(x,y)=(t,−abt−db)=t(1,−ab)+(0,−db)
这其实是一条经过点
(0,−db) 方向为
(1,−ab) 的直线L。
进一步地，我们设 n⃗=(a,b)
n⃗∗i+d=0(2)
设取
p=(p1,p2) 为L上一点，代入上式可以得到
d=−n⃗∗p ，则（2）式可以表示为
n⃗∗(i−p)=0(3)
可以看出，n⃗，并且点集
i=(x,y) 是那些与
p 的差向量与
n⃗ 正交的点。
- 超平面
说了这么多，现在来给出超平面的定义：给定 Rn 空间中的一点 p 和一个非零向量 n⃗
n⃗∗(i−p)=0(4)
的点集
i 称为经过点
p 的超平面。向量
n⃗ 为该超平面的法向量。
按照这个定义，一条直线是 R2 空间的超平面，一个平面是 R3 空间的超平面，Rn 空间的超平面是 Rn设
n⃗=(a1,a2,...,an),i=(i1,i2,...,in) ，则（4）式可以表示为
a1i1+a2i2+...+anin+d=0(5)
其中，
d=−n⃗∗p
很重要的一点是，利用一个超平面，我们可以将空间的点分为两部分（式（4）的值大于等于0或者小于0）。同时，利用式（4）我们可以方面的计算空间内一点到超平面的距离：设空间中一点 q ，q 到超平面的距离即是 q−p 在向量 n⃗
|(q−p)∗u⃗|=|q∗n⃗−p∗n⃗||n|||=|q∗n⃗+d|||n||
我们即可以求得
q 到超平面的距离。
图3：q到超平面H的距离
