秩和检验前三步R语言 kruskal-wallis秩和检验r语言代码

前言

在看论文时，常看到Kruskal-Wallis检验，却不知道它具体是一个什么样的检验，这篇文章主要介绍Kruskal-Wallis检验的检验方法，和检验目的，不涉及Kruskal-Wallis检验的证明。

原理介绍

Kruskal-Wallis检验是基于wilcox秩和检验发展而来的，其目的是检验不同分组之间中位数是否均相同。其原假设为$H_0: M_1=M_2=\cdot \cdot \cdot =M_k$ 。其中， k 为分组数，$M_i$为第 i 组样本总体的中位数。若拒绝原假设，则说明这k组之间的中位数不全相同，即这k组样本不全来自一个总体。Kruskal-Wallis检验是基于秩的非参数性检验对于样本的原分布没有要求。

Kruskal-Wallis构造的统计量为：

$H = \frac{12}{N(N-1)}\sum_{i=0}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1),\ v=k-1$

H服从自由度为 v 的$\chi^2$分布，下表是变量解释：

$\begin{align} n_i : 第i组中所含有的样本数, \ N : \sum_{i=0}^{k} n_i \ , \ R_i: 第i组中所有样本排秩的和, \ v: 自由度 \end{align}$

这里，简单解释一下什么是排秩的和。Kruskal-Wallis检验是不关注原样本的实际测量值，而是同Wlicox秩和检验一样关注每个样本的实际测量值在所有样本中的排名情况，然后根据排名进行检验。而$R_i$表示的是所有i组的样本的排名进行相加得到的值。注意，在赋排名时遇到同样的观测值，一般是将这几个同样观测值先排名，然后根据他们的排秩求均值，最后算出的均值作为他们新的排秩。

案例分析

下表是一项动物研究，研究者欲探究A，B两种菌对小鼠巨噬细胞吞噬功能的激活作用，将59只小鼠随机分为三组，其中一组为生理盐水对照，最后检测这59只小鼠的吞噬率。

在对实验各结果进行正态性检验以及方差齐性检验后，发现A，B菌组不服从正态分布。因此，可以采用Kruskal-Wallis进行检验。下面是检验步骤：

1. 检验假设

$\begin{align} & H_0: 三个总体的分布相同，即三个处理组的吞噬率相同 \\\\ & H_1: 三个总体的分布不相同或不全相同，即三个处理组的吞噬率不相同或不全相同 \\\\ & \alpha = 0.005 \end{align}$

2.编秩

将各组样本混合，由小到大排序并编秩，如遇有相等数值则取平均秩次，如吞噬率为65的有3个，他们的秩次为32、33和34，取平均秩次为$(32+33+34)/3 = 33$。

3. 求秩和

分别求将各组秩次相加求得秩和$R_1,R_2和R_3$。

4. 计算统计量

$H = \frac{12}{59(59+1)}(\frac{924^2}{24}+\frac{701^2}{19}+\frac{145^2}{16})-3(59+1)=32.72$

5.确定拒绝域与p值

1. 当k=3，每组例数$n_i \le 5$
2. 当k>3，或每组例数$n_i \ge 5$，则 H 服从以 k-1 为自由度的卡方分布。可通过卡方分布确定P值和拒绝域

若相同秩次较多（如超过25%），则需考虑矫正H统计量，矫正公式如下：

$\begin{align} & H_c = \frac{H}{c} \\\\ & c= 1 - \frac{\sum (t_j^3-t_j）}{N^3-N} \end{align}$

其中，$t_j$表示第 j 次相持时相同秩次的个数。本例中

$\begin{align} & c = 1-\frac{(3^3-3)+(4^4-4)+(7^7-7)+(3^3-3)+(5^3-3)+(2^3-2)}{59^3-59} = 0.997 \\\\ & H_c = 32.72/0.997 = 32.818 \end{align}$

计算自由度，v = k - 1 = 3 - 1 = 2 。因此$\chi ^2_{0.005,2} = 10.60 < H_c = 32.818$，故拒绝原假设，P < 0.005。可以认为，不同菌种对小鼠巨噬细胞的吞噬率有所不同。