文章目录
- 学习目标
- 一、极坐标变换原理
- 1.1、笛卡儿坐标转换为极坐标
- 1.2、极坐标转换为笛卡儿坐标
- 1.3、利用极坐标变换对图像进行变换
- 二、常见极坐标变换函数
- 2.1、线性极坐标函数linearPolar()
- 2.2、对数极坐标函数logPolar()
- 三、 总结
学习目标
- 熟悉极坐标变换原理
- 了解常见极坐标变换函数
- C++实现极坐标变换案例
一、极坐标变换原理
之前介绍的几种几何变换，如投影变换和仿射变换都是笛卡儿坐标系之间的变换，下面介绍笛卡
儿平面坐标和极坐标之间的空间变换关系，从而完成图像的极坐标变换。
1.1、笛卡儿坐标转换为极坐标
在笛卡尔坐标系xoy平面上的一点(x,y)，以(x'，y’)为中心，通过以下公式将笛卡儿坐标转换为极坐标：
从上述公式可以看出，以变换中心为圆心的同一个圆上的点，在极坐标系θ & r中显示为一条直线。θ的取值范围用弧度表示为[0，2π]，用角度表示为[0，360]，反正切函数arctan2返回的角度和笛卡儿坐标点所在的象限有关系。
象限 | 反正切角度范围 |
| [0，90] |
| [90，180] |
| [-180，-90] |
| [-90，0] |
为了使用方便，将第三、四象限情况，即(y-y')≤0时返回的正切角度加上一个周期360 ° ，所以经过极坐标变换后的角度范围为[0，360]。
OpenCV提供了函数：
void cartToPolar(InputArray x,
InputArray y,
OutputArray magnitude,
OutputArray angle,
bool angleInDegrees = false
) 将原点移动到变换中心后的笛卡儿坐标向极坐标的变换，其参数解释如下表所示，返回值magnitude、angle是与参数x和y具有相同尺寸和数据类型的ndarray。
参数 | 注释 |
x | 输入，单精度或双精度浮点型数组。 |
y | 与x一致 |
magnitude | 输出，极径，单精度或双精度浮点型数组。 |
angle | 输出，极角，可为角度或弧度。 |
angleInDegrees | 输入，为 |
举例：计算（0，0）、（1，0）、（2，0）、（0，1）、（1，1）、（2，1）、（0，2）、（1，2）、（2，2）这9个点以（1，1）为中心进行的极坐标变换。首先将坐标原点移动到（1，1）处，按照平移仿射矩阵计算出这9个点平移后的新坐标值，然后利用函数cartToPolar进行极坐标变换。代码如下：
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
Mat x = (Mat_<float>(3, 3) << 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2);
Mat y = (Mat_<float>(3, 3) << 0, 0,0, 1, 1, 1, 2, 2,2);
Mat r, theta;
Mat r1, theta1;
cartToPolar(x,y,r, theta, true);//角度
cartToPolar(x, y, r1,theta1, false);//弧度
cout << "极径:"<< r<< endl;
cout << "对应角度信息:" << theta << endl;
cout << "===================================" << endl;
cout << "极径:" << r1 << endl;
cout << "对应弧度信息:" << theta1 << endl;
return 0;
}
1.2、极坐标转换为笛卡儿坐标
极坐标变换也是可逆的，在已知极坐标(θ，r)和笛卡儿坐标的条件下，计算哪个笛卡儿坐标(x，y)以 为中心的极坐标变换是(θ，r)，可通过以下公式计算：
OpenCV提供了函数：
void polarToCart (InputArray magnitude,
InputArray angle,
OutputArray x,
OutputArray y,
bool angleInDegrees = false
) 将极坐标转换为笛卡儿坐标，其参数解释与函数cartToPolar类似。注意：返回的是以原点(0,0)为中心的笛卡儿坐标，即已知(θ，r)和(x'，y') ，计算出的是(x-x',y-y') 。
参数 | 注释 |
magnitude | 输入，极径，单精度或双精度浮点型数组。 |
angle | 输入，极角，可为角度或弧度。 |
x | 输出，单精度或双精度浮点型数组。 |
y | 与x一致 |
angleInDegrees | 输入，为 |
举例：已知极坐标系θ & r中的（30，10）、（31，10）、（30，11）、（31，11），其中θ是以角度表示的，问笛卡儿坐标系xoy中的哪四个坐标是以（-15，15）为中心经过极坐标变换后得到这四个坐标。代码如下：
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
//极坐标转笛卡尔
Mat angle = (Mat_<float>(2, 2) <<30,31,30,31);
Mat r = (Mat_<float>(2, 2) <<10,10,11,11);
Mat x, y;
polarToCart(r,angle,x,y,true);
x += -15;
y += 15;
for (int i = 0; i < x.rows; i++)
{
for (int j = 0; j < x.cols; j++)
{
cout << "笛卡尔坐标为:(" <<x.at<float>(i,j)<<"，"<< y.at<float>(i, j)<<")"<< endl;
}
}
return 0;
}
为什么要x+=-15，y+=15呢？
得到的（x，y）是以（0，0）为变换中心的，而这里的变换中心为（-15，15），所以只要进行x+=-15，y+=15操作。
1.3、利用极坐标变换对图像进行变换
假设输入图像矩阵为I， (x',y')代表极坐标空间变换的中心，输出图像矩阵为O，比较简单的方法就是利用极坐标和笛卡儿坐标的一一对应关系得到O的每一个像素值，即：
这里的θ和r都是以1为步长进行离散化的，由于变换步长较大，输出图像矩阵O可能会损失原图的很多信息。
但是，可以进行优化，假设要将与(x',y') 的距离范围为[rmin ，rmax ]、角度范围在[θmin ，θmax]内的点进行极坐标向笛卡儿坐标的变换，当然这个范围内的点也是无穷多的，仍需要离散化；假设r的变换步长为rstep >0；sstep ≤1，θ的变换步长为θstep ，θstep 一般取360/180*N，N≥2。那么，输出的图像矩阵的宽和高为：
图像矩阵O的第i行第j列的值通过以下公式进行计算：
在C++中可以通过先确定输出图像的宽、高，以及r和θ的最小值和变换步长，从而估算出r和θ的最大值。在实现极坐标变换之前，先介绍一下OpenCV中的几个函数：
(1) 该函数实现矩阵的平铺
repeat(const Mat&src,int ny,int nx)参数 | 注释 |
src | 输入矩阵。 |
ny | 将src在垂直方向上重复ny次。 |
nx | 将src在水平方向上重复nx次。 |
(2) 实现图像的极坐标变换
Mat polar (Mat I,Point2f center ,Size size， float minr = 0，float mintheta=0，float thetaStep = 0，float rStep =0)参数 | 注释 |
| 输入图像 |
| 极坐标变换中心 |
| 与变换中心的最小距离 |
| 与变换中心的最小角度 |
| 角度的变换步长 |
| 距离的变换步长 |
(3) 实现矩阵的水平镜像、垂直镜像及逆时针旋转180 °
void flip(InputArray src, OutputArray dst, int flipCode)参数 | 注释 |
| 输入图像矩阵 |
| 输出图像矩阵，尺寸与数据类型与 |
|
|
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
//flip(src,dst,flipcode)函数
Mat src = imread("D:/VSCodeFile/OpenCV_CSDN/image/logo.jpeg", IMREAD_COLOR);
Mat dst,dst1,dst2;
flip(src,dst,1);//绕y轴镜像处理
flip(src, dst1, 0);//绕x轴镜像处理
flip(src, dst2, -1);//逆时针旋转180
imshow("src原图", src);
namedWindow("src原图", WINDOW_AUTOSIZE);
putTextHusky(dst, "绕y轴镜像处理", Point(30, 30), Scalar(0, 0, 255), 20, "Arial");
imshow("绕y轴镜像处理", dst);
namedWindow("绕y轴镜像处理", WINDOW_AUTOSIZE);
putTextHusky(dst1, "绕x轴镜像处理", Point(30, 30), Scalar(0, 0, 255), 20, "Arial");
imshow("绕x轴镜像处理", dst1);
namedWindow("绕x轴镜像处理", WINDOW_AUTOSIZE);
putTextHusky(dst2, "逆时针旋转180 ", Point(30, 30), Scalar(0, 0, 255),20, "Arial");
imshow("逆时针旋转180", dst2);
namedWindow("逆时针旋转180", WINDOW_AUTOSIZE);
waitKey(0);
return 0;
}
极坐标变换对图像进行变换
极坐标变换是比较耗时的运算，有的时候只需对距离变换中心一定范围内的点进行极坐标变换即可；当然，角度也与之类似，有的时候不需要是整个的0～360 ° 。比如图像中的圆环区域进行极坐标变换，这个圆环区域与中心点(x,y)的距离在某个范围内。
分析：下面进行图像的极坐标变换，处理下列图像为例。下图所示的图像宽为942、高为910，其中有2层圆环，目的是将圆环按照“矩形”展示，通过极坐标变换正好可以实现该功能，圆环的中心大概位置为(466,453)，将它作为极坐标变换中心。比如只对图像中"星座"符号圆环区域进行极坐标变换，这个圆环区域与中心点(466,453)的距离在 100～230 范围内，这个区域也是估算获得，那么可以令minr=100、rStep=1，从而输出图像的高大约等于130(230-100)，令mintheta=0、thetastep=1/4、因为是整个圆环即需要角度范围是[0，360]，则设置输出图像的宽大约等于360*4=1440。代码如下：
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
Mat src = imread("D:/VSCodeFile/OpenCV_CSDN/image/img1.png", IMREAD_COLOR);
if (!src.data)
{
return -1;
}
//图像极坐标变换
float thetastep = 1.0 / 4;
float minr = 100;
Size size(int(360 / thetastep), 130);
Mat dst = polar(src, Point2f(466, 453), size, minr);
flip(dst, dst, 0); //绕x轴镜像处理
imshow("src", src);
imshow("dst", dst);
waitKey(0);
return 0;
}
注：我opencv3.4好像没有polar()函数，此问题待解决，先把代码呈上。
二、常见极坐标变换函数
2.1、线性极坐标函数linearPolar()
线性极坐标函数linearPolar()如下：
void linearPolar(InputArray src,OutputArray dst,Point2f center,double maxRadius,int flags);参数 | 注释 |
| 输入图像矩阵 |
| 输出图像矩阵，尺寸与数据类型与 |
| 极坐标变换中心 |
| 极坐标变换得最大距离 |
| 插值算法，与函数 |
利用该函数的C++处理上面的那个图像，极坐标变换中心和上面代码中的中心是相同的，取最大距离为230，具体代码如下：
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
//极坐标对图像进行转换linearPolar函数
Mat src = imread("D:/VSCodeFile/OpenCV_CSDN/image/img1.png", IMREAD_COLOR);
if (!src.data)
{
return -1;
}
//图像极坐标变换
float maxr = 230;
uchar flags = CV_INTER_LINEAR;
//Mat dst = polar(src, Point2f(466, 453), size, minr);
Mat dst;
linearPolar(src, dst, Point2f(466, 453), maxr, flags);
//显示
imshow("src", src);
imshow("dst", dst);
waitKey(0);
return 0;
}
注：上面polar()函数结果与次类似。
函数linearPolar生成的极坐标，θ在垂直方向上，r在水平方向上，前面实现的极坐标变换r在垂直方向上，θ在水平方向上，所以旋转90 ° 得到的结果就会类似。
仔细观察，里面的字好像也是在垂直方向上被压缩了，主要由于θ步长有点大造成的，那么该函数的r和θ的变换步长是多少呢？假设src的尺寸为宽W、高H，因为输出图像的尺寸也为宽W、高H，所以角度θ的变换步长大约为360/H，r的变换步长大约为maxRadius/W，上图图像的高为453、宽为466，所以r的变换步长为230/466，θ的变换步长为360/453，比上面θ的变换步长thetastep=1/4还要大，因此会显得有些扁。
该函数有两个缺点：第一，极坐标变换的步长是不可控制的，导致得到的图可能不是很理想；第二，该函数只能对整个圆内区域，而无法对一个指定的圆环区域进行极坐标变换。除了线性极坐标变换，
OpenCV还实现了另一种极坐标变换——对数极坐标变换，它们在本质上是相同的。
2.2、对数极坐标函数logPolar()
对数极坐标函数logPolar()如下：
void logPolar(InputArray src,OutputArray dst,Point2f center,double M,int flags);参数 | 注释 |
| 输入图像矩阵 |
| 输出图像矩阵，尺寸与数据类型与 |
| 极坐标变换中心 |
| 系数，大一点效果更好 |
|
|
本质上，对数极坐标变换和线性极坐标变换是一样的，将笛卡儿坐标转换为对数极坐标的公式如下：
反过来，将对数极坐标转换为笛卡儿坐标的公式如下：
对比标准的线性极坐标变换公式，显然M值越小，得到的r方向上的压缩越大，在图像上的表现就是在r方向上的信息越来越少，所以设置M值大一点效果会好一些。还是以上图为例，代码如下：
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
//极坐标对图像进行转换logPolar函数
Mat src = imread("D:/VSCodeFile/OpenCV_CSDN/image/img1.png", IMREAD_COLOR);
if (!src.data)
{
return -1;
}
//图像极坐标变换
float maxr = 230;
uchar flags = WARP_FILL_OUTLIERS;
//Mat dst = polar(src, Point2f(466, 453), size, minr);
Mat dst, dst1, dst2;
//linearPolar(src, dst, Point2f(466, 453), maxr, flags);
logPolar(src,dst, Point2f(466, 453),50,flags);
logPolar(src, dst1, Point2f(466, 453),100, flags);
logPolar(src, dst2, Point2f(466, 453), 150, flags);
//显示
imshow("src", src);
imshow("dst-M:50", dst);
imshow("dst-M:100", dst1);
imshow("dst-M:150", dst2);
waitKey(0);
return 0;
}
