深入理解取余/取模运算
一、了解取整方式
(1)向0取整
#include <stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
int i = 2.9;
int j = -2.9;
printf("%d\n", i);//结果是2
printf("%d\n", j);//结果是-2
system("pause");
return 0;
}
(2)向负无穷取整
#include <stdio.h>
#include <math.h>//因为使用了floor函数，需要添加该头文件
#include <windows.h>
int main()
{
//本质是向-∞取整，注意输出格式要不然看不到结果
printf("%lf\n", floor(-2.9);//结果是-3
printf("%lf\n", floor(-2.1);//结果是-3
printf("%lf\n", floor(2.9);//结果是2
printf("%lf\n", floor(2.1);//结果是2
system("pause");
return 0;
}
（3）向正无穷取整
#include <stdio.h>
#include <math.h>//因为使用了ceil函数，需要添加该头文件
#include <windows.h>
int main()
{
//本质是向+∞取整，注意输出格式要不然看不到结果
printf("%lf\n", ceil(-2.9);//结果是-2
printf("%lf\n", ceil(-2.1);//结果是-2
printf("%lf\n", ceil(2.9);//结果是3
printf("%lf\n", ceil(2.1);//结果是3
system("pause");
return 0;
}
（4）四舍五入取整
#include <stdio.h>
#include <math.h>//因为使用了round函数，需要添加该头文件
#include <windows.h>
int main()
{
//本质四舍五入
printf("%lf\n", round(-2.9));//结果是-3
printf("%lf\n", round(-2.1));//结果是-2
printf("%lf\n", round(2.9));//结果是3
printf("%lf\n",round(2.1));//结果是2
system("pause");
return 0;
}(5)汇总例子
#include <stdio.h>
#include <math.h>//因为使用了round函数，需要添加该头文件
#include <windows.h>
int main()
{
const char* format = "%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f\n";
printf("value\tround\tfloor\tceil\ttrunc\n");
printf("-----\t-----\t-----\t----\t-----\n");
printf(format, 2.3, round(2.3), floor(2.3), ceil(2.3), trunc(2.3));
printf(format, 3.8, round(3.8), floor(3.8), ceil(3.8), trunc(3.8));
printf(format, 5.5, round(5.5), floor(5.5), ceil(5.5), trunc(5.5));
printf(format, -2.3, round(-2.3), floor(-2.3), ceil(-2.3), trunc(-2.3));
printf(format, -3.8, round(-3.8), floor(-3.8), ceil(-3.8), trunc(-3.8));
printf(format, -5.5, round(-5.5), floor(-5.5), ceil(-5.5), trunc(-5.5));
system("pause");
return 0;
}
二、取模
取模概念：
如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。
#include <stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
int a = 10;
int d = 3;
printf("%d", a % d);//1
//因为 a = 10; d = 3; q = 3; r = 1; 0<= r <d(3)
//所以 a = q * d + r -> 10 = 3 * 3 +1
system("pause");
return 0;
}但是对于下面的代码
#include <stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
int a = -10;
int d = 3;
printf("%d", a / d);//-3
printf("%d", a % d);//-1
system("pause");
return 0;
}在C语言中上面代码：a / d = -3; a % d = -1
而在python中：a = -4; d = 2;
很显然，上面关于取模的定义，并不能满足语言上的取模运算,因为在C中，现在-10%3出现了负数，根据定义：满足 a = q*d + r
且0 ≤ r < d，C语言中的余数，是不满足定义的， 因为，r<0了。故，大家对取模有了一个修订版的定义：
如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，>r 被称为余数。有了这个新的定义，那么C中或者Python中的“取模”，就都能解释了。
解释C: -10 = (-3) * 3 + (-1)
解释Python：-10 = （?）* 3 + 2,其中，可以推到出来,'?'必须是-4(后面验证).即-10 = （-4）* 3 + 2，才能 满足定义。所以，在不同语言，同一个计算表达式，负数“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数
三、是什么决定了这种现象
由上面的例子可以看出，具体余数r的大小，本质是取决于商q的。
而商，又取决谁呢？取决于除法计算的时候，取整规则。
四、取余和取模一样吗？
取余或者取模，都应该要算出商，然后才能得出余数。
本质 1 取整：
取余：尽可能让商，进行向0取整。
取模：尽可能让商，向-∞方向取整。
故：
C中%,本质其实是取余。
Python中%，本质其实是取模。（后面不考虑python，减少难度）
理解链：
对任何一个大于0的数，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向是一致的。故取模等价于取余
对任何一个小于0的数，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向是相反的。故取模不等价于取余
同符号数据相除，得到的商，一定是正数（正数vs正整数），即大于0！
故，在对其商进行取整的时候，取模等价于取余。
本质 2 符号：
参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余
举例：
1.C语言
#include <stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
printf("%d\n", 10 / 3);//3
printf("%d\n\n", 10 % 3);//1
printf("%d\n", -10 / -3);//3
printf("%d\n\n", -10 % -3);//-1
syetem("pause");
return 0;
}2.python:
>>> print(10/3) 3.3333333333333335
>>> print(-10/3) -3.3333333333333335
>>> print(10//3)
>>> print(-10//3) -4五、如果参与运算的数据，不同符号呢？
#include <stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
printf("%d\n", -10 / 3); //结果：-3
printf("%d\n\n", -10 % 3); //结果：-1 为什么? -10=(-3)*3+(-1)
printf("%d\n", 10 / -3); //结果：-3
printf("%d\n\n", 10 % -3); //结果：1 为什么？10=(-3)*(-3)+1
syetem("pause");
return 0;
}
明显结论：如果不同符号，余数的求法，参考之前定义。而余数符号，与被除数相同.真的吗？？？
>>> print(-10//3)
-4
>>> print(10//-3)
-4
>>> print(-10%3)
2
>>> print(10%-3)
-2完犊子了，这是为什么呢？？？
我们不怎么严谨的数学推导，理解一下即可：
重新看看定义：
如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，>r 被称为余数。
a = qd + r 变换成 r = a - qd 变换成 r = a + (-q*d)
对于：x = y + z，这样的表达式，x的符号 与 |y|、|z|中大的数据一致
而r = a + (-qd)中，|a| 和 |-qd|的绝对值谁大，取决于商q的取整方式。
c是向0取整的，也就是q本身的绝对值是减小的。
如：
-10/3=-3.333.33 向0取整 -3. a=-10 |10|, -q*d=-(-3)*3=9 |9|
10/-3=-3.333.33 向0取整 -3. a=10 |10|, -qd=-(-3)(-3)=-9 |9|
绝对值都变小了
python是向-∞取整的，也就是q本身的绝对值是增大的。
-10/3=-3.333.33 '//'向-∞取整 -4. a=-10 |10|, -q*d=-(-4)*3=12 |12|
10/-3=–3.333.33 '//'向-∞取整 -4. a=10 |10|, -qd=-(-4)(-3)=-12 |12|
绝对值都变大了
结论：如果参与取余的两个数据符号不同，在C语言中(或者其他采用向0取整的语言如：C++，Java)，余数符号，与被除数相同。
六、总结
1.浮点数(或者整数相除)，是有很多的取整方式的。
2.如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r|< |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。
3.在不同语言，同一个计算表达式，“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数
4.具体余数r的大小，本质是取决于商q的。而商，又取决于除法计算的时候，取整规则。
5.取余vs取模： 取余尽可能让商，进行向0取整。取模尽可能让商，向-∞方向取整。
6.参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余
7.如果参与取余的两个数据符号不同，在C语言中(或者其他采用向0取整的语言如：C++，Java)，余数符号，与被
除数相同。（因为采用的向0取整）
