一 序
本文属于贪心NLP 学习笔记系列。今天开始，明显的数学概念多了起来。
二 unigram
不考虑单词之间的顺序，依赖于马尔科夫假设。
假设w1,w2,...wn是相互独立的：一个事件的发生与否，不会影响另外一个事件的发生。
而P(w1)、P(w2).....P(wn)的计算方法如下：统计语料库中某个单词出现的次数，再除以语料库的总词数。
缺点： 单词相互独立，所以语义上不通顺的跟通顺的概率一样，不能很好的区分。
三 bigram(基于1st order markov assumption)
考虑单词之间（前面的单词）的顺序
而P(w1)、P(w2/w1).....P(wn/wn-1)的计算方法如下：统计语料库里面某个单词后目标单词的概率
四 N-gram
一般情况下，不会考虑N太多，bigram是最多使用的。
只要出现语料库没有的单词，就会出现概率为0的case。
五 语言模型的评估
但是，这种方法一方面难以操作，另一方面可能非常耗时，可能跑一个evaluation需要大量时间，费时难操作。有没有不经过上面的情况，直接评估语言模型呢？
可以给定一个句子，让语言模型类似填坑的方式预测单词，以此来评估语言模型。
Perplexity 困惑度
困惑度是交叉熵的指数形式，网上会搜到很多观念与困惑度的学术型回答，主要推导公式。
老师先给了通俗解释：给测试集的句子赋予较高概率值的语言模型较好,当语言模型训练完之后，测试集中的句子都是正常的句子，那么训练好的模型就是在测试集上的概率越高越好
这个在文本处理尤其是无监督学习很常用。
这里x= average log likelihood,都是术语，老师没有解释。还不太没明白。Perplexity= 
计算规则： 现根据训练好的模型，去查询likelhood,再计算log,求平均得出x,代入公式Perplexity=
六 n-gram 语言模型中的平滑技术
我们知道自然语言处理中的一大痛点就是出现未登录词(OOV)的问题，即测试集中出现了训练集中未出现过的词，导致语言模型计算出的概率为零。
优化方法：smoothing 平滑
我们之前的概率计算，可以认为是最大似然估计（maximum likelihood estimation, MLE）。
样本太多，无法得出分布的参数值，可以采样小样本后，利用极大似然估计获取假设中分布的参数值。
这个也还没理解，老师说以后再展开讲。
就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值！
网上的例子：
假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？
70%，怎么推导的还不知偶。就是直觉了
这里的v是词典库的大小(不是所有单词出现多少次)，分子加1可以理解，为了让那些出现频次为0的𝐶(𝑤𝑖−1,𝑤𝑖)算出来的概率不为0，从而避免了因为它使得整个句子的概率为0了。
老师的给的思考题，是分母+v么不是100v?
为了使得∑𝑤𝑖𝐶(𝑤𝑖−1,𝑤𝑖)+1/𝐶(𝑤𝑖−1)+𝑣为1啊，物理意义就是，词典库中有v个词汇，𝑤𝑖−1后面接的单词在这v个词汇之中的概率要为1，也就是加起来为1。
add-k Smoothing
上面add-1,就是k=1的特例，本质上都是拉普拉斯平滑。
那么K到底怎么选呢？除了1个个尝试外，也可以采用优化的办法，利用困惑度是f(k)最小，求K
Interpolation
但是其实上面介绍的两个平滑还是会有一个问题没有解决，老师举了个例子：假设有如下的语料库
in the bathroom =0the kitchen =3 kithcen =4 arboretum =0
我们计算P(kitchen|in the)和P(arboretum|in the)的值是一样的，因为他们的频次都是0，通过上面的add-one 平滑。得出的都是值一样（1/6）。
但是这样是有问题的，因为我们直观感觉，（现在不出现不代表未来不出现）arboretum不再出现了，kithen还会出现，in the kitchen 肯定要比in the arboretum的概率要大得多，
换句话说，就是我们现在计算tri-gram模型的概率的时候，如果考虑到bi-gram和unigram的概率，那么就能避免上述情况了。公式如下：
𝑃′(𝑤𝑛|𝑤𝑛−1,𝑤𝑛−2)=𝜆1𝑃(𝑤𝑛|𝑤𝑛−1,𝑤𝑛−2)+𝜆2𝑃(𝑤𝑛|𝑤𝑛−1)+𝜆3𝑃(𝑤𝑛)
使用3个规则，分配不同的权重（加权平均）。且满足𝜆1+𝜆2+𝜆3=1
good-turning smoothing
假设你在钓鱼，已经抓到了18只鱼：
10条鲤鱼，3条黑鱼，2条刀鱼，1条鲨鱼，1条草鱼，1条鳗鱼…
Q1：下一个钓到的鱼是鲨鱼的概率是多少？
Q2：下一条鱼是新鱼种（之前没有出现过）的概率是多少？
Q3：既然如此，重新想一下，下一条抓到鱼为鲨鱼的概率是多少？
1. Q1:总共18条鱼，有一条鲨鱼， 那先假设为1/18.(基于假设不会有新鱼种)
2 可以用最大似然法，对于前面18个已经钓到的鱼来说，鲨鱼，草鱼，鳗鱼都只是钓到了一次，
我们会假设未出现过的鱼种的概率与出现一次的鱼种的概率相同，可以认为是新鱼种,就是3/18=1/6.
3. 既然新鱼种也占了一部分，那确实不能再用1/18表示接下来钓到鲨鱼的概率了，应该是<1/18. 剩余的概率空间留给新鱼种。
那么到底给新鱼种及鲨鱼赋予多少概率空间呢？就是good-turning 的核心思路。
对于没有出现的单词： 𝑃=𝑁1/𝑁
对于出现c次的单词：
的含义，出现c次单词的个数。例如：
= 有多少单词出现了3次。
通常
实践证明，good-turning算法得出的概率和实际情况很符合，如下图所示：第一列r是出现频次，第二列Nr是相应频次的单词个数，第三列是根据good-turning算法算出的下一次会出现的概率，第四列是在测试集中对相应频次的单词的个数的统计结果，第三列与第四列很相近。
缺点：
从上图中也可以看出，当单词出现次数慢慢增大时，r值并不是连续性的，但是每一个Pr的计算都依赖于r+1的count值。
简单的解决方案是，我们可以通过线性回归之类的方法(机器学习的拟合)，平滑的推断出7、9等不存在的r值的对应的count值，然后再带入上式进行计算。
总结： 再构建语言模型时会经常采用这种方法，但是在朴素贝叶斯里面，还是会常用到add-one的平滑。
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补充一个语言模型在文本纠错的应用
怎么过滤？
case1 ：单词本身错误
case2 ： 词本身没错，语法上错误
也是需要语言模型判断（根据提前设定的阈值），如果有训练数据，可以按照二分类问题解决。
