非线性规划求解python

1 概述

        对于规划类问题，若目标函数或约束条件中包含非线性函数，则称这类规划问题为非线性规划问题。对于非线性规划问题，目前没有适用于各种情况的通用方法（类似于求解线性规划的单纯型法），各个方法都有其特定的适用范围，因此求解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难的多。非线性优化问题往往没有显式解，需要使用迭代算法逐步优化。常用的求解方法包括牛顿法、梯度下降法、拟牛顿法、遗传算法等。

        非线性规划模型的一般形式：

        其中x为模型的决策变量，f为目标函数，g和h为约束函数；

为等式约束，

为不等式约束。

        对于实际问题，一般要注意以下几点：

（1） 决策变量：首先要收集问题相关的资料和数据，确认问题可供选择的方案。

（2） 目标函数：根据实际需要和可能，提出追求极大化或极小化的目标，将其表示为数学关系式

（3） 约束条件：根据实际问题确定所有限制条件，用变量之间的一些等式或不等式来表示。

2 编程求解

Matlab中非线性规划的数学模型一般表示为以下形式：

        式中f(x)为标量函数，A，b,Aeq,beq,lb,ub为相应维数的矩阵和向量，c(x),ceq(x）为非线性向量函数。

        Matlab中常用fmincon函数求解非线性规划问题，调用格式：

[x,fval]=fmincon(fun,x(0),A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

           x的返回值为决策向量x的取值，fval为目标函数的取值；fun为以M文件形式定义的函数f(x),

x0为x的初始值，A,b,Aeq,beq定义了线性约束

,

.如无线性约束条件，则A=[], b=[], Aeq=[], beq=[].； lb、ub分别为决策变量x的下界、上界。         nonlcon为以M文件形式定义的非线性向量函数

,

; options 定义了优化参数，可使用Matlab默认设置。

示例：求解以下非线性规划问题：

为了便于直接调用fmincon函数求解，将其转换为极小值形式的标准形式：

Matlab代码：

非线性目标函数;

function f=fun1(x)
f=-(2*x(1)+3*x(1)^2+3*x(2)+x(2)^2+x(3));
end

非线性约束条件：

function [g,h]=fun2(x)
g=[x(1)+2*x(1)^2+x(2)+2*x(2)^2+x(3)-10
    x(1)+x(1)^2+x(2)+x(2)^2-x(3)-50
    2*x(1)+x(1)^2+2*x(2)+x(3)-40];%非线性不等式约束
h=[x(1)^2+x(3)-2];%非线性等式约束
end

主函数：

[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[-1,-2,0],[-1],[],[],[0,-inf,-inf],[],'fun2')
y=-y;

计算结果：