（通过MATLAB实现）
1.线性加权法
线性加权法的适用条件是各评价指标之间相互独立， 这样就可以利用多元线性回归方法来得到各指标对应的系数。
举个例子：所评价的对象是股票， 已知一些股票的各个指标以及这些股票的历史表现，其中最后一列标记为 1 的表示为上涨股票，标为 0 的表现为一般的股票，-1 的则为下跌的股票。希望根据这些已知的数据， 建立股票的评价模型，这样就可以利用模型评价新的股票。
1.导入数据
clear all, close all
s = dataset('xlsfile', 'SampleA1.xlsx');2.多元线性回归
当导入数据后，就可以先建立一个多元线性回归模型，具体实现过程和结果如下：
myFit = LinearModel.fit(s);
disp(myFit)
sx=s(:,1:10);
sy=s(:,11);
n=1:size(s,1);
sy1= predict(myFit,sx);
figure
plot(n,sy, 'ob', n, sy1,'*r')
xlabel('样本编号', 'fontsize',12)
ylabel('综合得分', 'fontsize',12)
title('多元线性回归模型', 'fontsize',12)
set(gca, 'linewidth',2)该段程序执行后，得到的模型及模型中的参数如下。
利用该模型对原始数据进行预测，得到的股票综合得分如图1所示。从图中可以看出，尽管这些数据存在一定的偏差，但三个簇的分层非常明显，说明模型在刻画历史数据方面具有较高的准确度。
图1 多元线性回归模型得到的综合得分与原始得分的比较图
3.逐步回归
上述是对所有变量进行回归，也可以使用逐步回归进行因子筛选，并可以得到优选因子后的模型，具体实现过程如下：
myFit2 = LinearModel.stepwise(s);
disp(myFit2)
sy2= predict(myFit2,sx);
figure
plot(n,sy, 'ob', n, sy2,'*r')
xlabel('样本编号', 'fontsize',12)
ylabel('综合得分', 'fontsize',12)
title('逐步回归模型', 'fontsize',12)
set(gca, 'linewidth',2)该段程序执行后，得到的模型及模型中的参数如下。
从该模型中可以看出，逐步回归模型得到的模型少了 5 个单一因子，多了 5 个组合因子，模型的决定系数反而提高了一些，这说明逐步回归得到的模型精度更高些，影响因子更少些，这对于分析模型本身是非常有帮助的，尤其是在剔除因子方面。
利用该模型对原始数据进行预测，得到的股票综合得分如图 2 所示，总体趋势和图 1 相似。
图2 逐步回归模型得到的综合得分与原始得分的比较图
以上是线性加权法构建评价型模型的方法， 所用的程序框架对绝大多数的这类问题都可以直接应用，核心是要构建评价的指标体系， 这是建模的基本功。总的来说，线性加权法的特点是：
（1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；
（2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；
（3）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。
2.层次分析法
层次分析法 (Analytic Hierarchy Process, AHP) 是美国运筹学家萨蒂（T. L. Saaty）等人 20 世纪 70 年代初提出的一种决策方法，它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可比较的定量依据，它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题。因此在资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等领域得到广泛的应用。
AHP 的本质是根据人们对事物的认知特征，将感性认识进行定量化的过程。人们在分析多个因素时，大脑很难同时梳理那么多的信息，而层次分析法的优势就是通过对因素归纳、分层，并逐层分析和量化事物，以达到对复杂事物的更准确认识，从而帮助决策。
在数学建模中，层次分析法的应用场景比较多，归纳起来，主要有以下几个场景：
(1) 评价、评判类的题目。这类题目都可以直接用层次分析法来评价，例如奥运会的评价、彩票方案的评价、导师和学生的相互选择、建模论文的评价、城市空气质量分析等。
(2) 资源分配和决策类的题目。这类题目可以转化为评价类的题目，然后按照 AHP 进行求解，例如将一笔资金进行投资，有几个备选项目，那么如何进行投资分配最合理呢？这类题目中还有一个典型的应用，就是方案的选择问题，比如旅游景点的选择、电脑的挑选、学校的选择、专业的选择等等，这类应用可以说是 AHP 法最经典的应用场景了。
(3) 一些优化问题，尤其是多目标优化问题。对于通常的优化问题，目前已有成熟的方法求解。然而，这些优化问题一旦具有如下特性之一，如：
①问题中存在一些难以度量的因素；
②问题的结构在很大程度上依赖于决策者的经验；
③问题的某些变量之间存在相关性；
④需要加入决策者的经验、偏好等因素，
这时就很难单纯依靠一个优化的数学模型来求解。这类问题，通常的做法是借助 AHP 法将复杂的问题转化为典型的、便于求解的优化问题，比如多目标规划，借助层次分析法，确定各个目标的权重，从而将多目标规划问题转化为可以求解的单目标规划问题。
如何用 MATLAB 来实现层次分析法的过程，层次分析法中，需要 MATLAB 的地方主要就是将评判矩阵，转化为因素的权重矩阵。为此，这里只介绍如何用 MATLAB 来实现这一转化。
将评判矩阵转化为权重矩阵，通常的做法就是求解矩阵最大特征根和对应阵向量。
需要注意的是，在将评判矩阵转化为权重向量的过程中，一般需要先判断评判矩阵的一致性，因为通过一致性检验的矩阵，得到的权重才更可靠。
下面就以一个实例来说明如何应用 MATLAB 来求解权重矩阵，具体程序如下：
%% AHP法权重计算MATLAB程序
%% 数据读入
clc
clear all
A=[1 2 6; 1/2 1 4; 1/6 1/4 1];% 评判矩阵
%% 一致性检验和权向量计算
[n,n]=size(A);
[v,d]=eig(A);
r=d(1,1);
CI=(r-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
CR_Result='通过';
else
CR_Result='不通过';
end
%% 权向量计算
w=v(:,1)/sum(v(:,1));
w=w';
%% 结果输出
disp('该判断矩阵权向量计算报告：');
disp(['一致性指标:' num2str(CI)]);
disp(['一致性比例:' num2str(CR)]);
disp(['一致性检验结果:' CR_Result]);
disp(['特征值:' num2str(r)]);
disp(['权向量:' num2str(w)]);运行该程序，可得到以下结果：
该判断矩阵权向量计算报告：
一致性指标:0.0046014
一致性比例:0.0079334
一致性检验结果:通过
特征值:3.0092
权向量:0.58763 0.32339 0.088983应用这段程序时，只要将评判矩阵输入到程序中，其它地方都不需要修改，然后就可以直接、准确地计算出对应的结果，所以这段程序在实际使用中非常灵活。
