1 引言
对于光学系统，其理想成像下的物像关系如图1-1所示，
图1-1 理想光学系统物像关系
像高h' 与入射角θ 的关系满足：
式中 h' ——理想像高（mm）；
f' ——系统的等效焦距（mm）；
θ ——物方光线的入射角（rad）。
与理想光学系统不同的是，F-theta镜通过引入一定的像差，使像高h' 与入射角θ 的关系满足：
其物像位置关系如图1-2所示：
图1-2 F-theta镜物像位置关系
2 F-theta镜的设计思想
本文所设计的F-theta镜的工作波长为1064nm单波长，不需要对色差进行校正。为满足实际生产过程中的加工需求，应使出射的聚焦激光光束在各视场下尽量垂直于工件表面，且应使像面为平面。因此，应将F-theta镜设计成远心平像场物镜。
预设二维振镜的第二片反射镜的位置处为F-theta镜的光阑位置，其通光孔径和入射激光束的直径相同。本文所设计的F-theta镜，等效焦距为88mm，光阑直径为8mm，视场角为±15°，相对孔径较小，视场较大。需要对与视场相关的像差进行校正，同时，为保证系统远心，需要对系统的出瞳距进行控制。
如上文所示，F-theta镜需要满足像高与视场角h'=f'·θ 的关系，随着视场角θ 的增大，实际像高h'=f'·θ 与理想像高h'=f'·tanθ 的偏差值将会增大，实际像高将小于理想像高。因此，F-theta镜通过引入像差，使实际像高比理想像高要小，以达到实际像高h'=f'·θ 的设计目的。
畸变的定义为实际像高和理想像高的差距，其中，负畸变指实际像高比理想像高要小，又称为枕形畸变。畸变不会对成像的清晰度产生影响，但会影响轴外物点的像点相对于理想像点的偏差。在F-theta镜的设计过程中，我们需要引入一定的负畸变。理论上，将弯月型负透镜设置在光阑后，并使其弯向光阑，同时在负透镜之后设置正透镜，可以帮助引入负畸变。
根据F-theta镜的设计指标，由
式中 λ——工作波长（μm）；
f'——系统的等效焦距（mm）；
D——通光孔径（mm）；
r——焦斑半径（μm）。
以及焦斑半径r <15μm的要求，设计系统的等效焦距f' =88mm。根据扫描场大小扫描场大小40mm×40mm、通光孔径为8mm的设计要求，且需要将F-theta 镜设计为像方远心的结构形式。在《现代实用光学系统》[25]中选择四片透镜形式的F-theta 镜作为初始结构。将所选择的初始参数输入到ZEMAX光学设计软件中，包括各表面曲率半径、面与面之间的间距等，如表3-1所示，表中曲率半径（Radius）、间隔厚度（Thickness）、口径（Semi-Diameter）单位均为mm，玻璃材料（Glass）中参数分别为折射率和阿贝数。
该初始结构从左往右为光路聚焦方向，将光阑（STO）设置在第一面，往后依次为各透镜前后表面，设置完成后，系统的初始结构如图 1-3所示。
该系统的技术指标为:等效焦距f' =250mm，θ =21°，波长λ =800 nm，通光孔径D=10mm。
图3-3 F-theta镜初始结构光路图
与本文的设计要求相比较，该初始结构的工作波长不同，且玻璃材料未确定，需要对玻璃材料进行替换。本文所设计F-theta镜适用于1064nm 红外激光，因此，选择成本低、损伤阈值高的熔石英玻璃F_SILICA作为镜片的玻璃材料。同时，该系统焦距及通光孔径与设计要求不同，需要进行焦距缩放。
4 F-theta镜的优化设计
在ZEMAX光学设计软件的system选项卡中，将工作波长λ =1064nm、通光孔径D=8mm、视场角θ =15°等基本参数进行输入，将玻璃材料进行替换、并将焦距缩放至88mm，得到成像质量下降的初始结构，再对镜组进行后续的优化。
将镜组缩放焦距后的光路如图3-4所示，该镜组的镜片厚度和镜片间隔偏小，且存在出瞳距过近，导致大视场下的光束未能垂直像面等问题。因此，在优化函数Merit Function中引入操作数EXPP，EXPP表示系统的出瞳距离，当EXPP趋近于无穷大时，镜组为满足设计要求的像方远心系统。
图3-4 F-theta镜缩放焦距后的光路图
为了控制镜组的等效焦距为88mm，在Lens Data Editor中设置第四片镜片后表面的曲率半径，使其Solve类型为F number=11。由于镜组的通光孔径D=8mm，此设置可以自动调整镜组的焦距保持在88mm。
在F-theta镜的设计中，我们通过引入负畸变使得像高h'=f'·θ，因此，畸变是我们最关心的像差。通过在优化函数中设置操作数DISC，可以帮助我们达到设计的需求，此操作数可返回f'-θ 条件下的相对畸变值η （%）。若实际像高为h' ，则相对畸变
上式表明，DISC越低，则越接近h'=f'·θ 的设计目标。在F-theta镜的设计中，我们希望相对畸变η的值小于0.5%。故在优化函数中，将DISC的目标值设置为0.2%，权重设置为1。
在F-theta镜的设计中，还需要考虑包括场曲和像散在内的其他像差。如图3-5所示，将优化函数的模式设置为RMS Spot Radius（均方根半径），并设置Centriod为参考点。场曲的校正利用FCGT和FCGS两个操作数进行初步优化，像散则使用ASTI操作数进行控制。
图1-5 F-theta镜优化函数构造方式
如表1-1所示，最终生成F-theta镜的优化函数及对应取值。表中第一列为优化函数中各操作数的名称，第二列为为相应操作数的预期目标值，第三列列为相应操作数的权重，第四列为相应操作数的实际值，第五列列为相应操作数对优化评价函数的参考影响。
表1-1 F-theta镜优化函数操作数及对应取值
操作数 | 目标值 | 权重 | 实际值 | 参考贡献 |
ASTI | 0.000 | 0.100 | -0.001 | -0.00005 |
DIMX | 1.000 | 0.200 | 1.955 | 99.7900 |
DISC | 0.200 | 0.100 | 0.199 | -0.00003 |
FCGS | 0.000 | 0.100 | -0.002 | -0.00030 |
FCGT | 0.000 | 0.100 | -0.002 | -0.00030 |
EXPP | -500.000 | 0.100 | -500.0 | 4.486E-011 |
优化函数设置完成后，将各透镜的曲率半径和厚度数值设置为variable（可变类型），通过优化函数对设计结构进行计算机优化，通过微调优化函数的操作数、手动修正曲率半径和厚度数值，最终获得优化后的F-theta镜光路图如图1-6所示。
图1-6 优化后的F-theta镜光路图
5 F-theta镜的像质评价
对于所设计的F-theta镜，其在0°到15°之间各视场下的点列图如图3-7所示。F-theta镜在各视场下的点列图均处于艾里斑范围之内，表明所设计的F-theta镜可以起到较好的聚焦效果。
图1-7 F-theta镜各视场所对应的点列图
对所设计的F-theta镜的场曲、畸变进行分析。如图1-8所示，在Field Curvature曲线中，曲线T表示系统在子午面上的场曲，曲线S表示系统在弧矢面上的场曲，二者之间的横向距离为像散。在设计的F-theta镜中，子午场曲和弧矢场曲数值均未超过0.3mm，最大像散值约0.1mm，在Distortion曲线中可以观察系统的畸变，其最大值控制在2%以内，可以满足F-theta镜的设计要求。最重要的是，相对畸变控制在0.19%，达到了<0.5%的设计要求。
图1-8 F-theta镜的场曲与畸变
对所设计的F-theta镜的相对照度进行分析。如图1-9所示，系统的相对照度曲线保持在95%以上，即在整个0°到15°的视场范围内，可以保证激光分布均匀，在加工的过程中，激光的分布均匀性在95%以上。
图1-9 F-theta镜的相对照度曲线
对所设计的F-theta镜的能量分布进行分析。如图1-10所示，能量集中度曲线表明系统的聚焦效果良好。图中点P说明，对于各视场角的入射光束，约85%的能量能够集中半径为15μm的光斑范围之中。
图1-10 F-theta镜的能量集中度曲线
6 小结
根据给出的F-theta镜的设计指标，对F-theta镜进行了具体的光学设计。从对F-theta镜设计思想的介绍出发，对选取的初始结构进行了优化设计，优化完成后，对所设计的F-theta镜进行了像质评价，通过点列图、场曲与畸变图、相对照度、能量集中度对所设计的F-theta镜进行了分析，最终，对F-theta镜的设计效果进行了验证。
