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文章目录

• 前言
• 一、正交相机视图空间 转化到 裁剪空间 干了什么

• 1、正交相机裁剪的范围主要是这个方盒子
• 2、裁剪了之后，需要把裁剪范围内的坐标值化到[-1,1]之间，这就是我们的裁剪空间。
• 3、在Unity中，设置相机为正交相机
• 4、在这里设置相机的近裁剪面和远裁剪面

• 二、把正交相机的方盒子内的坐标 转化到 裁剪空间

• 1、我们在Unity创建两个游戏对象来解释
• 2、正交相机坐标 到 裁剪坐标 的映射关系
• 3、化简X轴坐标
• 4、化简Y轴坐标
• 5、化简Z坐标(OpenGL下 [-1,1])
• 6、化简Z坐标(DirectX下 [0,1])

• 三、把转化后的坐标转化为矩阵

• 1、OpenGL下
• 2、DirectX

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前言

我们把顶点坐标信息转化为裁剪空间。有可能使用到正交相机信息 或 透视相机。我们在这篇文章中，推导一下正交相机视图空间下的坐标转化到裁剪空间的矩阵。

• 本地空间->世界空间->观察空间->裁剪空间->屏幕映射

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一、正交相机视图空间 转化到 裁剪空间 干了什么

1、正交相机裁剪的范围主要是这个方盒子

• 因为使用的是右手坐标系。所以，摄像机的Z轴正方向是在X轴正方向右侧的。

2、裁剪了之后，需要把裁剪范围内的坐标值化到[-1,1]之间，这就是我们的裁剪空间。

• 在不同平台下裁剪空间的X 和 Y轴范围都是[-1，1]
• OpenGL下，Z范围[-1,1]
• DirectX下，Z范围[0,1]

3、在Unity中，设置相机为正交相机

• Unity视图窗口使用了左手坐标系，Z轴正方向 在 X轴正方向左侧。但是，我们计算使用的是右手坐标系，这里需要注意。

4、在这里设置相机的近裁剪面和远裁剪面

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二、把正交相机的方盒子内的坐标 转化到 裁剪空间

1、我们在Unity创建两个游戏对象来解释

• 我们的绿线Cube相当于我们的裁剪空间
• 我们的大长方体相当于世界空间下的游戏对象
• 当我们进行转化时，对大长方体进行缩放、平移即可转化到裁剪空间

2、正交相机坐标 到 裁剪坐标 的映射关系

• $l \leq x \leq r$ 化为 -1 $\leq x \leq$
• $b \leq y \leq t$ 化为 -1 $\leq x \leq$
• $f\leq z \leq n$ 化为 -1 $\leq x \leq$

3、化简X轴坐标

$l \leq x \leq r$

$l - l \leq x - l \leq r - l$

$0 \leq x - l \leq r - l$

$0 \leq x - l \frac{2}{r - l} \leq r - l \frac{2}{r - l}$

$0 \leq \frac{2x - 2l }{r - l} \leq 2$

$-1 \leq \frac{2x - 2l }{r - l} - 1\leq 1$

$-1 \leq \frac{2x - 2l }{r - l} - \frac{r - l}{r - l}\leq 1$

$-1 \leq \frac{2x - l -r }{r - l} \leq 1$

• $l = -r,r = -l$
  我们在Unity中看出，我们的正交相机是处于裁剪面中央的。
  所以，我们的裁剪面x、y坐标，在摄像机空间下，是对称的。所以 r 和 l 是相反数。

$-1 \leq \frac{2x - (-r) -r }{r - (-r)} \leq 1$

$-1 \leq \frac{2x}{2r} \leq 1$

• $w = 2l = 2r$

(w为我们正交相机方盒子的宽，我们这里先假设为w。可以通过屏幕像素相除得到屏幕高宽比。然后，乘以h即可得到宽)

我们已知的是：
正交相机方盒子的高 Size（等于Unity单位值的2倍）
正交相机的近远裁剪面（Z值）

$-1 \leq \frac{2x}{w} \leq 1$

4、化简Y轴坐标

$b \leq y \leq t$

$b - b\leq y - b \leq t - b$

$0\leq y - b \leq t - b$

$0\leq y - b\frac{2}{t - b} \leq t - b\frac{2}{t - b}$

$0\leq \frac{2y - 2b}{t - b} \leq 2$

$-1\leq \frac{2y - 2b}{t - b} - 1\leq 1$

$-1\leq \frac{2y - 2b}{t - b} - \frac{t - b}{t - b}\leq 1$

$-1\leq \frac{2y - b - t}{t - b}\leq 1$

• $b = -t,b = -t$
  我们在Unity中看出，我们的正交相机是处于裁剪面中央的。
  所以，我们的裁剪面x、y坐标，在摄像机空间下，是对称的。所以 b 和 t 是相反数。

$-1\leq \frac{2y - (-t) - t}{t - (-t)}\leq 1$

$-1\leq \frac{2y + t - t}{t + t}\leq 1$

$-1\leq \frac{2y}{2t}\leq 1$

• $h = 2b = 2t$

(h为我们正交相机方盒子的高，这里先假设h代替)

$-1\leq \frac{2y}{h}\leq 1$

5、化简Z坐标(OpenGL下 [-1,1])

因为我们观察空间是右手坐标系。但是，我们裁剪空间是左手坐标系。所以，这里需要化简的式子需要变化一下。(左手坐标系Z轴正方向与上图相反)

• $f\leq z \leq n$ 变为 $-n\leq z \leq -f$

$-n\leq z \leq -f$

$0\leq z + n \leq n-f$

$0\leq z + n \frac{2}{n - f} \leq n - f \frac{2}{n - f}$

$0\leq \frac{2z + 2n}{n - f} \leq 2$

$-1\leq \frac{2z + 2n}{n - f} - \frac{n-f}{n-f}\leq 1$

$-1\leq \frac{2z + n + f}{n - f} \leq 1$

$-1\leq \frac{2z + n + f}{n - f} \leq 1$

• 化简为线性式，方便后面把式子化为矩阵

$-1\leq \frac{2z}{n - f} + \frac{n+f}{n-f} \leq 1$

6、化简Z坐标(DirectX下 [0,1])

因为我们观察空间是右手坐标系。但是，我们裁剪空间是左手坐标系。所以，这里需要化简的式子需要变化一下。(左手坐标系Z轴正方向与上图相反)

• $f\leq z \leq n$ 变为 $-n\leq z \leq -f$

$-n \leq z \leq -f$

$0 \leq z + n\leq n -f$

$0 \leq z+n \frac{1}{n-f} \leq 1$

$0 \leq \frac{z+n }{n-f} \leq 1$

• 化简为线性式，方便后面把式子化为矩阵

$0 \leq \frac{z}{n-f} + \frac{n}{n-f}\leq 1$

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三、把转化后的坐标转化为矩阵

• X
  $-1 \leq \frac{2x}{w} \leq 1$
• Y
  $-1\leq \frac{2y}{h}\leq 1$
• Z（OpenGL）
  $-1\leq \frac{2z}{n - f} + \frac{n+f}{n-f} \leq 1$
• Z（DirectX）
  $0 \leq \frac{z}{n-f} + \frac{n}{n-f}\leq 1$

1、OpenGL下

$\begin{bmatrix} \frac{2}{w} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{h} & 0 &0\\ 0 & 0 & \frac{2}{n -f} &\frac{n + f}{n - f}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$

2、DirectX

$\begin{bmatrix} \frac{2}{w} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{h} & 0 &0\\ 0 & 0 & \frac{1}{n -f} &\frac{n}{n - f}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$