土木工程阵型分解反应谱法python程序 阵型分解反应谱法例题

矩阵分析之 实矩阵分解（5）总结

• 前言
• 特征分解（谱分解）
• SVD分解
• LU和PLU分解
• Cholesky分解（LLT，LDLT分解）
• 满秩分解
• QR分解
• 使用场景推荐

前言

之前的四篇内容分别介绍了特征分解，SVD分解，LU和PLU分解，Cholesky分解，满秩分解和QR分解，现在来进行总结。

特征分解（谱分解）

对于n阶方阵A，如果具有n个线性无关的特征向量，则可以进行特征分解：
$A=P\Lambda P^{-1}$
其中，$P$是$A$的特征向量组成的矩阵，$\Lambda$是$P$对应的特征值对角矩阵。

特征分解的速度一般，精度一般。当特征值固定从大到小排列时，分解结果唯一。

SVD分解

对于任意矩阵$A\in R^{m\times n}$，都可以进行SVD奇异值分解：
$A=U\Sigma V^T$
其中，$U\in R^{m\times m}$是$AA^T$的正交对角化的正交矩阵，$V\in R^{n\times n}$是$AA^T$是$A^TA$的正交对角化的正交矩阵，$\Sigma\in R^{m\times n}=\begin{bmatrix} diag\{\sqrt\lambda_{A^TA}\} \\ 0 \end{bmatrix},m>n;\Sigma\in R^{m\times n}=\begin{bmatrix} diag\{\sqrt\lambda_{AA^T}\} \quad 0 \end{bmatrix},m<n$，即$A$的奇异值矩阵。

SVD速度较慢，精度很好。当奇异值固定从大到小排列时，分解结果唯一。

LU和PLU分解

对于可逆方阵$A\in R^{n\times n}$，可以分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积：
$A=LU$

实际使用为了提升稳定性，一般使用PLU分解，P是一个行换换矩阵：
$A=PLU$

PLU分解速度较快，精度一般。当$L$是单位下三角矩阵或$U$是单位上三角矩阵，分解结果唯一。

Cholesky分解（LLT，LDLT分解）

对于对称正定矩阵$A\in R^{n\times n}$，可以进行Cholesky分解为一个下三角矩阵与自身转置的乘积：
$A=LL^T$

Cholesky分解速度很快，精度一般。Cholesky分解结果唯一。

对于可逆对称矩阵$A\in R^{n\times n}$，可以进行LDLT分解为：
$A=LDL^T$
其中$D\in R^{n\times n}$是一个对角矩阵。

LDLT分解速度较快，精度较好。LDLT分解结果是唯一的。

满秩分解

对于任意矩阵$A\in R^{m\times n},rank(A)=r$，可以分解为两个矩阵的乘积：
$A_{m\times n}=B_{m\times r}C_{r\times n},rank(B)=rank(C)=r$

满秩分解的结果是不唯一的。

QR分解

对于任意矩阵$A\in R^{m\times n}，m\ge n$，都可以分解为：
$A_{m\times n}=Q_{m\times m}R_{m\times n}$
其中，Q是一个正交矩阵，$R$是一个上三角矩阵；

或者分解为：
$A_{m\times n}=Q_{m\times n}R_{n\times n}$
其中，Q是一个正交列向量组，$R$是一个上三角矩阵。

QR分解速度较快，精度较好。当$A$列满秩，并且$R$的对角元都为正数时，分解结果唯一。

使用场景推荐

对于超定方程组求解，追求速度可以使用QR分解，追求稳定性和精度可以使用SVD分解。

对于适定方程组求解，可以使用PLU分解。

对于线性方程组的系数矩阵为对称矩阵，可以使用LDLT和Cholesky分解。

总而言之，QR分解，SVD分解和PLU分解的适用面更加广泛，解方程时优先考虑这三种矩阵分解方法。