第一次实验利用5组数据，根据LS算法得出 θ 和P，此第6组开始递推。
[u]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','B2:B401')];
[y]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','C2:C401')];
[ym]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','C2:C21')]; %计算初值所用的输出值ym
[um]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','B2:B21')]; %计算初值所用的输入值um
theta=zeros(400,4);
p=zeros(20,4);
p(1,:)=[1 1 1 1];
p(2,:)=[1 1 1 1];
k=3;
while(k<21)
p(k,1)=-ym(k-1);
p(k,1)=-ym(k-1);
p(k,2)=-ym(k-2);
p(k,3)=um(k-1);
p(k,4)=um(k-2);
k=k+1;
end
xi=zeros(400,1);
Pm=inv(p'*p);
thetam=Pm*p'*ym;
while(k<400)
fai=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2)]';
xi(k)=y(k)-fai'*thetam;
G=Pm*fai/(1+fai'*Pm*fai);
Pm=Pm-G*fai'*Pm;
thetam=thetam+G*(y(k)-fai'*thetam);
theta(k,:)=thetam';
k=k+1;
end
figure,plot([1:400],theta);
xlabel('试验次数');ylabel('参数估计');
legend('a_1','a_2','b_1','b_2');
figure,plot([1:400],xi);
xlabel('试验次数');ylabel('残差');Theta :
残差：
运行结果如上图所示，RLS算法在大概50组数据的时候能够实现初步收敛，但是仍然残差较大且且一直处于微小的振荡过程中。特别是到了递推到了100组数据后，残差值明显增大尖峰值甚至达到了0.6，b1曲线收敛的速度缓慢。
初始推测是递推之间的离线辨识数据量不足，将离线辨识的数据量增大四倍到20组。
实验利用20组数据，根据LS算法得出 θ
和P，此第21组开始递推。再次实现得
从实验的结果来看，在离线辨识的数据量增大能够保证估算精度后在此递推，仍然是存在误差较大且小幅振荡的现象。递推到100组之后，残差明显增大，尖峰值过大的问题仍然没有解决。
第二次实验尝试采用初值设定的方法，即将θ=0，任取P0=σ2I2n*2n其中的I为2n*2n的单位阵，σ特别大，一般在10000-1000000之间。
[u]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','B2:B401')];
[y]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','C2:C401')];
theta=zeros(400,4);
k=3;
xi=zeros(400,1);
Pm=eye(4,4)*(10^1)^2;
thetam=zeros(4,1);
while(k<401)
fai=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2)]';
xi(k)=y(k)-fai'*thetam;
G=Pm*fai/(1+fai'*Pm*fai);
Pm=Pm-G*fai'*Pm;
thetam=thetam+G*(y(k)-fai'*thetam);
theta(k,:)=thetam';
k=k+1;
end
figure,plot([1:400],theta);
xlabel('试验次数');ylabel('参数估计');
legend('a_1','a_2','b_1','b_2');
figure,plot([1:400],xi);
xlabel('试验次数');ylabel('残差');当σ= 100000时：
运行结果如上图所示，可以看出大约在15组数据后，结果就收敛了，且100组之前的残差值较小，这和LS+RLS算法相比收敛速度得到了明显得上升，但系统在100组数据的时候，仍然发生了参数变化，辨识结果在150组数据左右再次达到收敛。虽然最终都达到了收敛，但是从右边的残差图可以看出，误差的峰值仍然较大，100组数据之后残差值得振荡仍然明显存在。
考虑更改σ之后，再次观察实验效果，
σ= 1000时：
当σ= 10时
从以上实验结果可知，σ对估算性能影响不明显，排除σ取值不准带来的问题。
在对上述实验结果的观察中发现，随着数据采集量的增加，新数据提供的信息被旧的数据掩埋，而辨识算法如果对新旧数据用相同计算度对待，旧的数据就会持续对算法进行影响，这将导致算法修正能力逐步降低，从而无法辨识准确的参数，如果我们能够实现对新旧数据的处理区分开来，对新数据的计算权重更大，对旧数据的计算权重降低，就可以解决旧数据对算法修正能力的影响。
第三次实验在采用初值设定的RLS算法基础上，采用遗忘算法来对参数进行辨识。
遗忘算法的原理分析：
在模型不变的基础上，采用初值设定的RLS算法基础上，对新旧信息加上一个计算权重，对新旧信息进行区别处理，增加新信息在算法中的权重，减小旧信息的权重。
算法公式如下：
其中 p
是遗忘因子，从式子中可以看出，遗忘因子越小，旧的数据的权重越小，新的数据的权重越大。
[u]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','B2:B401')];
[y]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','C2:C401')];
theta=zeros(400,4);
p=0.85;
k=3;
Pm=eye(4,4)*(10^1)^2;
thetam=zeros(4,1);
while(k<401)
fai=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2)]';
G=Pm*fai/(p+fai'*Pm*fai);
Pm=(Pm-G*fai'*Pm)/p;
xi(k)=y(k)-fai'*thetam;
thetam=thetam+G*(y(k)-fai'*thetam);
theta(k,:)=thetam';
k=k+1;
end
figure,plot([1:400],theta);
xlabel('试验次数');ylabel('参数估计');
legend('a_1','a_2','b_1','b_2');
figure,plot([1:400],xi);
xlabel('试验次数');ylabel('残差');当 p = 0.9 时，实验结果如下：
根据遗忘算法的实验结果，可以看出初始阶段，能够在5组数据左右就能实现收敛，这比初值设定的RLS算法要快很多；且算法在100组数据之后，残差值能够快速的减小，振荡幅度小且能实现快速收敛。但有a1a2b1b2的波形有明显的振荡，与初值设定的RLS算法相比，此时100组之后由于数据饱和带来的估计误差过大的问题已经基本解决。
再次尝试改变p值之后，算法的效果
P =0.95时，实验结果如下：
P=0.99时，实验结果如下;
P=0.85，实验结果如下：
从上述三次实验的结果可以看出，随着遗忘因子p的增大，旧数据的权重越大，新数据的权重越小，theta收敛得越慢，辨识参数振荡也更小，辨识结果的收敛性好，但残差波动较大，追踪能力差；遗忘因子p越小，旧数据的权重越小，新数据的权重越大，收敛的速度越快，追踪能力好，残差的波动较小，但也正是由于新数据的权重变大，所以辨识的参数波动也较大，辨识结果的收敛性较差。
在此有此思考，如果我们能够综合p在较大时的收敛性和p在较小时候的快速追踪性，那算法的性能就能得到很大的提升。这在单个遗传因子参数的情况下是无法实现的，我们可以考虑在使算法在不同的情况下使用不同的p，即变p的策略来综合收敛性和快速追踪性能。
第四次实验是根据单遗忘因子所作的改进实验，使用变p的策略来进行参数辨识。
变p算法就是给算法一个定量的参考值，根据这个参考值的大小来调节p的大小，当发现模型的这个指标大于这个参考值时，选择较对应大小的遗传因子。从上节实验中可以看出p=0.99，算法具有较好的收敛特性，曲线较为平滑，缺陷在于到100组数据的时候，对于无法快速的跟随，如果在这个时候将P降低，就可以在残差较大的时候快速跟随，残差较小的时候回到p=0.99，使得算法的收敛性能提升。
[u]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','B2:B401')];
[y]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','C2:C401')];
theta=zeros(400,4);
k=3;
Pm=eye(4,4)*(10^1)^2;
thetam=zeros(4,1);
while(k<401)
fai=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2)]';
xi(k)=y(k)-fai'*thetam;
p=0.99;
if xi(k)>0.15
p=0.2
end
G=Pm*fai/(p+fai'*Pm*fai);
Pm=(Pm-G*fai'*Pm)/p;
xi(k)=y(k)-fai'*thetam;
thetam=thetam+G*(y(k)-fai'*thetam);
theta(k,:)=thetam';
k=k+1;
end
figure,plot([1:400],theta);
xlabel('试验次数');ylabel('参数估计');
legend('a_1','a_2','b_1','b_2');
figure,plot([1:400],xi);
xlabel('试验次数');ylabel('残差');
变p算法实验结果：
从图中可以看出，相比单值p=0.85，在系统的收敛特性得到很大提升，曲线光滑并且没有振荡，相比单值p=0.99，算法的残差明显更小，系统跟随特性也得到了很大提升，基本综合了p=0.85和p=0.99的优点。
此时只是初步调节结果，若试验不同的转换p值，得出最优组合。
当根据参考值p=0.99 和 p=0.7之间转换时实验结果：
当根据参考值p=0.99 和 p=0.5之间转换时实验结果：
当根据参考值p=0.99 和 p=0.3之间转换时实验结果：
经过尝试多组实验，p转换值在p=0.99 和 p=0.3之间算法性能最佳，算法的收敛性和跟随性能都较为优良。
第五次实验 尝试变P法，当残差和大于限定条件时重置P矩阵
[u]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','B2:B401')];
[y]=[xlsread('2019作业二时变系统.xlsx','C2:C401')];
theta=zeros(400,4);
k=3;
p=1;
Pm=eye(4,4)*(10^1)^5;
thetam=zeros(4,1);
while(k<401)
fai=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2)]';
xi(k)=y(k)-fai'*thetam;
if xi(k)^2>4*var(xi(1:k))
Pm=eye(4,4)*10^5;
end
G=Pm*fai/(p+fai'*Pm*fai);
Pm=(Pm-G*fai'*Pm)/p;
xi(k)=y(k)-fai'*thetam;
thetam=thetam+G*(y(k)-fai'*thetam);
theta(k,:)=thetam';
k=k+1;
end
figure,plot([1:400],theta);
xlabel('试验次数');ylabel('参数估计');
legend('a_1','a_2','b_1','b_2');
figure,plot([1:400],xi);
xlabel('试验次数');ylabel('残差');
实验结果如下：
其实原理和变p算法相类似，都是基于一个参考条件来重新调整，变P算法是在误差大于一定值时，直接重置P矩阵，由重置的矩阵重新开始递推，就直接把旧的数据舍弃了。
从实验的结果来看，辨识结果在参数变化后的瞬间将旧数据全部抛弃，可以理解为权重为零，重置P矩阵，由新的矩阵开始递推，这样能够有效的减少旧数据对算法的干扰，且不会像遗忘算法一样会导致收敛性能差，导致振荡。同时还具有较好的跟随性能，相当于参数变化之后，用重置的P矩阵再次递推，跟随性能较好。
