高斯消元法
首先，我们导入几个概念。
定义1： 一个矩阵称为阶梯形（行阶梯形），若它有以下三个性质：
1.每一非零行在每一零行之上；
2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的后面；
3.某一行先导元素所在列下方元素都是零。
比如，
定义2：若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，称它为简化阶梯形（简化行阶梯形）：
1.每一非零行的先导元素是1；
2.每一先导元素1是该元素所在列的惟一非零元素。
比如，
定理1：每个矩阵行等价于惟一的简化阶梯形矩阵。即简化阶梯形矩阵是惟一的。
下面，我们用一个具体例子来说明高斯消元法的主要步骤。
原矩阵：
第一步，由最左的非零列开始，这是一个主元列。主元位置在该列顶端。
第二步，在主元列中选取一个非零元作为主元。若有必要的话，对换两行使这个元素移到主元位置上。
第三步，用倍加行变换将主元下面的元素变成0.
第四步，暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止。
对每一行重复上述步骤。
第五步，由最右面的主元开始，把每个主元上方的各元素变成0.若某个主元不是1，用倍乘变换将它变成1.
最后，我们就得到了原矩阵的简化阶梯形。
其中，第1~4步称为行化简算法的向前步骤，产生唯一的简化阶梯形的第5步，称为向后步骤。
C++实现
我们尝试用C++来实现以上步骤。这里只是简单的实现，也就是用代码描述了上述步骤，没有考虑过多的问题。欢迎大家在评论里指出问题，提出更好的建议，以便于日后改进。
大概的实现思路就是先实现向前步骤：
首先，我们对于每一行找到第一个不为零的元素，并且将这一行置为1 * * * *的形式，用这一行乘上倍数加到之后的每一行。
再实现向后步骤：
然后，我们从最后一行开始，选择主元，加到之前的每一行上，使得该列的元素都为零。
最后，我们就完成了化简，得到了简化阶梯形。
以上算法只是一个粗略实现，主要体现在：
1.对于主元的选定不够最优；
2.会出现精度问题；
3.对于某些情况无法处理。
先暂时贴上代码，之后有时间再进行优化。
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3
4 using namespace std;
5
6 int main()
7 {
8 double martix[100][100];
9 int n, m; // n行m列
10
11 scanf("%d %d", &n, &m);
12
13 // 输入
14 for(int i = 0; i < n; i++)
15 for(int j = 0; j < m; j++)
16 scanf("%lf", &martix[i][j]);
17
18 // 向前步骤
19 for(int i = 0; i < n - 1; i++)
20 {
21 // 找主元
22 int pos = 0;
23 for(int j = 0; j < m; j++)
24 if(martix[i][j])
25 {
26 pos = j;
27 break;
28 }
29
30 if(martix[i][pos] != 1 && martix[i][pos] != 0)
31 {
32 double tmp = martix[i][pos];
33 for(int j = pos; j < m; j++)
34 {
35 martix[i][j] = martix[i][j] / tmp;
36 }
37 }
38 for(int j = i + 1; j < n; j++)
39 {
40 if(!martix[j][pos])
41 continue;
42 double tmp = martix[j][pos];
43 for(int k = pos; k < m; k++)
44 {
45 martix[j][k] = martix[j][k] - martix[i][k] * tmp;
46 }
47 }
48 }
49
50 // 向后步骤
51 for(int i = n - 1; i > 0; i--)
52 {
53 int pos = 0;
54 for(int j = 0; j < m; j++)
55 if(martix[i][j])
56 {
57 pos = j;
58 break;
59 }
60
61 if(martix[i][pos] != 1 && martix[i][pos] != 0)
62 {
63 double tmp = martix[i][pos];
64 for(int j = pos; j < m; j++)
65 {
66 martix[i][j] = martix[i][j] / tmp;
67 }
68 }
69
70 for(int j = 0; j < i; j++)
71 {
72 if(!martix[j][pos])
73 continue;
74 double tmp = martix[j][pos];
75 for(int k = pos; k < m; k++)
76 {
77 martix[j][k] = martix[j][k] - martix[i][k] * tmp;
78 }
79 }
80 }
81
82 // 输出
83 for(int i = 0; i < n; i++)
84 {
85 for(int j = 0; j < m; j++)
86 printf("%-10.2f", martix[i][j]);
87 printf("\n");
88 }
89 return 0;
90 }
