x的y次方 java x的y次方的z次方偏导数

微分学（下）：

• 高等数学考研笔记（四）：微分学（下）

• 偏导数：
• 全微分：
• 方向导数：
• 极值/最值求解：
• 雅可比矩阵/行列式：
• 隐函数：

高等数学考研笔记（四）：微分学（下）

偏导数：

• 定义：函数$z=f(x,y)$在$P_0(x_0,y_0)$的邻域内有定义，固定$y=y_0$，得到一元函数$f(x,y_0)$，若$f(x,y_0)$在x0处可导，则：
  $f$
  称为函数$z=f(x,y)$在$(x_0,y_0)$点对x的偏导数；若对x,y的偏导数都存在，则称该函数可偏导；
  $\Rightarrow$ 偏导数乘以任意增量$\Delta x$叫做函数对$x$的偏微分；
  $\Rightarrow$ 高阶偏导数的定义可类比高阶导数的定义推广；
  $\Rightarrow$ 偏导运算法则同一元函数导数运算法则，特别地，复合函数求偏导也遵循链式法则；
  $\Rightarrow$ 对于多元函数而言，可偏导不一定连续，连续也不一定可偏导；
  $\Rightarrow$ 若二阶混合偏导数$f$和$f$在$(x,y)$均连续，则$f$，即混合偏导数与求导顺序无关；
  $\Rightarrow$ 设n元函数$f$在开区域$D$中存在一切可能的$(k-1)$阶偏导数和一切的$k$阶混合偏导数，且所有这些导数在$D$中连续，则任一k阶混合偏导数与求导次序无关；

全微分：

• 定义：若函数$z=f(x,y)$在(x,y)的某邻域内有定义，且在(x,y)的全增量：
  $\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
  可表示为：
  $\Delta z = \cfrac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \cfrac{\partial f}{\partial y}\Delta y + o(\rho), \rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
  则称函数f(x,y)在(x,y)处可微，且$A\Delta x + B\Delta y$称为函数f(x,y)在(x,y)处的全微分，记作：
  $dz = \cfrac{\partial f}{\partial x}d x + \cfrac{\partial f}{\partial y}d y$
  $\Rightarrow$ 全微分运算法则同一元函数微分运算法则，特别地，复合函数求全微分也遵循链式法则；
  $\Rightarrow$ 一阶全微分同样遵循微分形式不变性；
• 可微的条件：

• 函数连续（必要不充分）；
• 函数可偏导（必要不充分）；
• 函数的偏导数连续（充分不必要，此时称函数连续可微）；

• 高阶全微分展开法则：
  $d^n(z) = (\cfrac{\partial}{\partial x}dx+\cfrac{\partial}{\partial y}dy)^nf(x,y)$

方向导数：

• 定义：设函数$f(x,y,z)$在$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某领域$U$内有定义，向量余弦$l=(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)$，则$\forall P\in U$，使得$P_0P // l$，若
  $\cfrac{\partial f}{\partial l}(P_0)=\lim\limits_{P\rightarrow P_0} \cfrac{f(P)-f(P_0)}{|P_0P|} = f$
  存在，则称其为函数$f$在$P_0$处沿着方向$l$的方向导数；
• 方向导数的存在条件：
  $\Rightarrow$ 可微是方向导数存在的充分不必要条件；
  $\Rightarrow$ 函数可偏导，则沿坐标轴方向的方向导数一定存在；
  $\Rightarrow$ 沿任何方向的方向导数存在，函数不一定可偏导（偏导数包含与坐标轴平行的两个相反方向的方向导数并要求其相等）；

极值/最值求解：

• 一元函数极值的求解：
  $\Rightarrow$ 必要条件：极值点只能在导数等于0的点$x_0$（称静止点/稳定点/驻点）或导数不存在的点的横坐标；
  $\Rightarrow$ 充分条件1：若$f(x)$在$x_0$的某一领域内有限导数，在各自侧面保持着自己的导数符号不变，则当两侧导数符号异号时，$x_0$为极值点；
  $\Rightarrow$ 充分条件2：若$f(x)$在$x_0$处存在n阶导数，则在各阶导数中，若第一个非零的导数是偶数阶，则$x_0$是极值点（小于零是极大值，大于零是极小值）；若第一个非零的导数是奇数阶，则$(x_0,y_0)$是拐点（小于零是左凹右凸，大于零是左凸右凹）；
  $\Rightarrow$ 注意：只有拐点是坐标点，其余点（驻点/极值点/零点）都仅指横坐标；
• 一元函数最值的比较求解法：
  比较所有的“可疑极值点”（包括驻点、不可求导点，以及边界点），其中的最大/小数，即为最大/小值；
• 二元函数极值的求解：
  $\Rightarrow$
  $\Rightarrow$

• 多元函数$f(x_1,x_2,..,x_n)$的$Hessan$矩阵定义如下：
  $H = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_n} \\ ...&...&...&...\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \\ \end{matrix} \right]$
• 当多元函数在某点的$Hessan$矩阵是正定矩阵时，在该点取得极小值；
• 当多元函数在某点的$Hessan$矩阵是负定矩阵时，在该点取得极大值；
• 当多元函数在某点的$Hessan$矩阵是不定矩阵时，在该点没有极值；
• 当多元函数在某点的$Hessan$矩阵是半正定/半负定矩阵时，无法判断；

• 多元函数最值的比较求解法：

• 比较所有的“可疑极值点”（包括驻点、不可偏导点(内部点)，以及边界点），其中的最大/小数，即为最大/小值；
• 对于实际应用问题，若$f(x,y)$可能取得极值的点唯一，并根据问题本身知道所求最值存在，则该唯一极值点就是最值点；

• 条件极值的拉格朗日乘数法：
  函数$f(x,y,z)$满足约束方程$\phi(x,y,z)=0$的条件极值，令拉格朗日函数：
  $F(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z)+\lambda\phi(x,y,z)$
  满足下列方程组：
  $\begin{cases} F$
  $\Rightarrow$ 其中$\lambda$称拉格朗日乘数；
  $\Rightarrow$

雅可比矩阵/行列式：

• 定义：设有m个n元函数组成的函数组：
  $\begin{cases} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_n) &\\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_n) &\\ ...&\\ y_m = f_m(x_1,x_2,...,x_n) &\\ \end{cases}$
  则其雅可比矩阵为以下$m\times n$矩阵：
  $J = \left[ \begin{matrix} \frac{\delta f_1}{\delta x_1} & \frac{\delta f_1}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_1}{\delta x_n} \\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1} & \frac{\delta f_2}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_2}{\delta x_n} \\ ...&...&...&...\\ \frac{\delta f_m}{\delta x_1} & \frac{\delta f_m}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_m}{\delta x_n} \\ \end{matrix} \right]$
  $\Rightarrow$ 若$m = n$，则雅可比矩阵对应的行列式称雅可比行列式：
  $|J|= \left| \begin{matrix} \frac{\delta f_1}{\delta x_1} & \frac{\delta f_1}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_1}{\delta x_n} \\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1} & \frac{\delta f_2}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_2}{\delta x_n} \\ ...&...&...&...\\ \frac{\delta f_n}{\delta x_1} & \frac{\delta f_n}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_n}{\delta x_n} \\ \end{matrix} \right| = \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(x_1,x_2,...,x_n)}$
• 雅可比行列式的复合函数组性质：

• 第一性质（由一元复合函数求导性质$\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt}$推广）：
  设有两组函数组：
  $\begin{cases} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_n) &\\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_n) &\\ ...&\\ y_n = f_n(x_1,x_2,...,x_n) &\\ \end{cases}$$\begin{cases} x_1 = g_1(t_1,t_2,...,t_n) &\\ x_2 = g_2(t_1,t_2,...,t_n) &\\ ...&\\ x_n = g_n(t_1,t_2,...,t_n) &\\ \end{cases}$
  则有：
  $\frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(x_1,x_2,...,x_n)}\cdot \frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(t_1,t_2,...,t_n)} = \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(t_1,t_2,...,t_n)}$

• 第二性质（由多元复合函数求全导链式法则$\frac{dy}{dt}=\sum\frac{\delta y}{\delta x_i}\cdot \frac{\delta x_i}{\delta t}$推广）：
  设有两组函数组：
  $\begin{cases} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_m) &\\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_m) &\\ ...&\\ y_n = f_n(x_1,x_2,...,x_m) &\\ \end{cases}$ $\begin{cases} x_1 = g_1(t_1,t_2,...,t_n) &\\ x_2 = g_2(t_1,t_2,...,t_n) &\\ ...&\\ x_m = g_m(t_1,t_2,...,t_n) &\\ \end{cases}$
  则有：
  $\frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(t_1,t_2,...,t_n)} = \sum_{i_1,i_2,...,i_n}\frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_n})} \cdot \frac{D(x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_n})}{D(t_1,t_2,...,t_n)}$
  $\Rightarrow$ $i_1,i_2,...i_n$表示从$m(m\geq n)$中取出$n$个数的一切可能组合；

隐函数：

1）一元定义：若函数$y=f(x)$是由函数方程$F(x,y) = 0$所确定的，就称其为隐函数（不一定可以解出$y=f(x)$的解析式，n元定义和函数方程组定义可类比）；

2）隐函数存在定理：

• 一元函数：设隐函数$F(x,y)=0$在点$P_0(x_0,y_0)$的领域G内满足：
  ① 函数F在G上连续可微；
  ② $F(P_0)=F(x_0,y_0)=0$；
  ③ $F_y$；
  则存在唯一的函数$y=f(x)$和$x_0$的邻域I使得：
  ① $F(x,f(x))=0$；
  ② $f(x_0) = y_0$；
  ③ $f$连续可微，且当$x\in I$时有：
  $f$
• 二元函数：设隐函数$F(x,y,z)=0$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的领域G内满足：
  ① 函数F在G上连续可微；
  ② $F(P_0)=F(x_0,y_0,z_0)=0$；
  ③ $F_z$；
  则存在唯一的函数$z=f(x,y)$和$(x_0,y_0)$的邻域I使得：
  ① $F(x,y,f(x,y))=0$；
  ② $f(x_0,y_0) = z_0$；
  ③ $f$连续可微，且当$(x,y)\in I$时有：
  $\cfrac{\partial f}{\partial x} = -\cfrac{F$
• 二元函数组：设隐函数组$F(x,y,u,v)=0,H(x,y,u,v)=0$在点$P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$的领域G内满足：
  ① 函数F,H在G上连续可微；
  ② $F(P_0)=H(P_0)=0$；
  ③ $\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}\neq 0$；
  则存在唯一的一组函数$u=u(x,y),v=v(x,y)$和$(x_0,y_0)$的邻域I使得：
  ① $F(x,y,u(x,y),v(x,y))=H(x,y,u(x,y),v(x,y))=0$；
  ② $u(x_0,y_0) = u_0,v(x_0,y_0) = v_0$；
  ③ $u,v$连续可微，且当$(x,y)\in I$时有：
  $\cfrac{\partial u}{\partial x} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(x,v)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}} ,\cfrac{\partial u}{\partial y} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(y,v)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}}\\ \cfrac{\partial v}{\partial x} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(u,x)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}} ,\cfrac{\partial v}{\partial y} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(u,y)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}}\\$

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