hessian矩阵正定矩阵

定义：一个n × n的实对称矩阵M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z^TMz > 0。

正定矩阵判定：

1. 矩阵M的所有的特征值 λ_i都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说M = P ^{− 1}DP，其中P是幺正矩阵，或者说M在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正数。

2. 半双线性形式

定义了一个Cⁿ上的内积。实际上，所有Cⁿ上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。

3.

M是

n个线性无关的

n维向量

的

Gram矩阵，其中的

k为某个正整数。更精确地说，

M定义为：

换句话说，M具有A*A的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。

4.

M的所有

顺序主子式，也就是

顺序主子阵的

行列式都是正的（

西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：

• M左上角1× 1的矩阵
• M左上角2× 2矩阵
• ...
• M自身。

对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：

5. 存在唯一的

下三角矩阵

L，其主对角线上的元素全是正的，使得：

M =

LL

^* .

其中L ^* 是L的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

正定矩阵性质：

若M为半正定阵，可以写作

。如果M是正定阵，可以写作M > 0。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。对于一般的埃尔米特矩阵，M、N，

当且仅当

。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义M > N。1. 每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果

那么

。

2. 如果M是正定阵，r > 0为正实数，那么 rM 也是正定阵。如果 M、N 是正定阵，那么和M + N、乘积 MNM 与 NMN 都是正定的。如果 MN = NM，那么 MN 仍是正定阵。

3. 如果M = (m_ij) > 0 那么主对角线上的系数m_ii 为正实数。于是有tr(M) > 0。此外还有

4. 矩阵M 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B > 0 使得 B² =M。根据其唯一性可以记作B =M^{1 / 2}，称B 为M 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果M >N > 0 那么M^{1 / 2} > N^{1 / 2} > 0.

5. 如果M,N > 0 那么

，其中

表示克罗内克乘积。6. 对矩阵M = (m_ij),N = (n_ij)，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为

，即

，称为M 与 N的阿达马乘积。如果M,N > 0，那么

。如果M,N 为实系数矩阵，则有如下不等式成立：

7. 设M > 0，N 为埃尔米特矩阵。如果

（MN +NM > 0），那么

（N > 0）。8. 如果

为实系数矩阵，则

。
9. 如果M > 0为实系数矩阵，那么存在δ > 0 使得

，其中I 为单位矩阵。

参考文献：

http://hi.baidu.com/giqguarzqdbadpq/item/383a2d184978b09999ce33d7