python 给予多个位置 拟合预测下一个位置

文章目录

• 一、文章内容
• 二、实验环境
• 三、概率分布

• 伯努利分布
• 二项分布
• 泊松分布
• 几何分布
• 负二项分布
• 超几何分布
• 均匀分布
• 正态分布
• 指数分布

• 四、各分布之间的关系
• 五、参考

一、文章内容

(1): 整理总结常见重要概率分布的定义以及实用场景，包括离散随机变量概率分布: 伯努利分布,二项分布,泊松分布,几何分布,负二项分布,超几何分布以及连续随机变量概率分布:均匀分布,正态分布,指数分布。
(2): 基于Python实现常见重要概率分布的概率质量/密度函数图像。

二、实验环境

• Python: 3.6
• Numpy
• Scipy
• Matplotlib

三、概率分布

伯努利分布

• 问题背景: 概率不同的是非题。

• 抛一枚硬币，是正面还是反面?
• 进来的顾客买还是不买东西?
• 人的眼睛是不是绿色?

• 概率质量函数:
  $p(x) = p^x(1-p)^{1-x} \quad ,x=1,0$
• 期望:$p$, 方差:$p(1-p)$
• 代码:

import numpy as np #数组包
from scipy import stats #统计计算包的统计模块
import matplotlib.pyplot as plt #绘图包

# 生成pmf
# --------分布参数---------
p = 0.5 # 得到"是"的概率
# ------------------------

X = np.arange(0,2,1) # [0,1]
p_list = stats.bernoulli.pmf(X,p) # [0.5,0.5] 

# 制图
plt.plot(X, p_list, linestyle='None', marker='o')
plt.vlines(X,0,p_list)
plt.xlabel("Random variable X ,X(Pos)=1,X(Neg)=0")
plt.ylabel('Probability')
plt.title("Bernuulli: p={}".format(p))

• 结果:

二项分布

• 问题背景: $n$重伯努利实验，出现$k$次是。

• 抛一枚硬币$n$次，出现$k$次正面。
• 随机抽$n$个人，有$k$个人眼睛是绿色。

• 概率质量函数:



• 期望: $np$, 方差: $np(1-p)$
• 代码:

import numpy as np #数组包
from scipy import stats #统计计算包的统计模块
import matplotlib.pyplot as plt #绘图包

# --------分布参数---------
p = 0.5 # 得到"是"的概率
n = 50 # 实验次数
# ------------------------

X = np.arange(0, n+1, 1)
p_list = stats.binom.pmf(X,n,p)

plt.plot(X, p_list, linestyle='None', marker='o')
plt.vlines(X, 0, p_list)
plt.xlabel('Random Variable: X, X(Experimental Result) = the num of Pos')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('binom n:{};p:{}'.format(n,p))

• 结果

泊松分布

• 问题背景: 二项分布$n \to +\infty$的极限。

• 每天应该供应多少馒头。
• 每天一个路口出现事故的次数。
• 一定时间内，某放射性物质放射出的$\alpha$粒子数目。
• 总之，满足泊松分布的事件有着三个特性。

• 平稳性: 在一段时间$T$内，事件发生的概率相同。
• 独立性: 事件的发生彼此独立，没有关联或关联很弱。
• 普通性: 将$T$划分为无限个小的$\Delta T$, 在每个$\Delta T$内，事件发生多次的概率几乎为0.

• 概率质量函数: $X \sim P(\lambda)$
  $p(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
• 期望: $\lambda$, 方差$\lambda$.
• 代码:

import numpy as np #数组包
from scipy import stats #统计计算包的统计模块
import matplotlib.pyplot as plt #绘图包

# --------分布参数---------
lam = 5 # 每天卖的馒头均值
# -----------------------------
X = np.arange(0, 21, 1)
p_list = stats.poisson.pmf(X,lam)

plt.plot(X, p_list, linestyle='None', marker='o')
plt.vlines(X, 0, p_list)
plt.xticks(np.arange(0, 21, 1))
plt.xlabel('Random Variable: X, X(Experimental Result) = the num of things happen in time interval T')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('poisson, lambda:{}'.format(lam))

• 结果

几何分布

• 问题背景: $n$重伯努利实验，第$k$次首次出现是。

• 每次表白成功概率$p$, 表白$k$次才成功概率。

• 概率质量函数:

• 代码

import numpy as np #数组包
from scipy import stats #统计计算包的统计模块
import matplotlib.pyplot as plt #绘图包
# --------分布参数-------------
p = 0.5  # 每次得到"是"的概率
# -----------------------------
X = np.arange(0, 21, 1)
p_list = stats.geom.pmf(X,p)

plt.plot(X, p_list, linestyle='None', marker='o')
plt.vlines(X, 0, p_list)
plt.xticks(np.arange(0, 21, 1))
plt.xlabel('Random Variable: X, X(Experimental Result) = First happen in k')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('geom, p:{}'.format(p))

• 结果

负二项分布

• 问题背景: 几何分布的和

• 巴拿赫火柴盒问题

• 概率质量函数:
• 代码: 略

超几何分布

• 问题背景: 不放回抽样的二次分布.

• 有$N$件产品，其中有$M$件不合格品，随机抽取$n$件产品，则其中含有$m$件不合格产品的概率为多少

• 概率质量函数:$X \sim h(n, N, M)$
• 期望、方差
• 代码:

import numpy as np #数组包
from scipy import stats #统计计算包的统计模块
import matplotlib.pyplot as plt #绘图包
# --------分布参数-------------
n = 10 # 抽n次
N = 50 # 总共N个产品
M = 20 # 有M个次品
# -----------------------------
X = np.arange(0, n+1, 1)
p_list = stats.hypergeom.pmf(X,N,M,n)
plt.plot(X, p_list, linestyle='None', marker='o')
plt.vlines(X, 0, p_list)
plt.xticks(np.arange(0, n+1, 1))
plt.xlabel('Random Variable: X, X(Experimental Result) = # of inferior product')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('hypergeom, n:{};N:{};M:{}'.format(n,N,M))

• 结果:

均匀分布

• 问题背景: 古典派中的几何概型

• 设车每10分钟来一班，且随机到来，问等车时间。

• 概率密度函数: $X = U(a,b)$
  $p(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & else \end{cases}$
• 期望: $\frac{a+b}{2}$, 方差: $\frac{(b-a)^2}{12}$
• 代码: 略

正态分布

• 问题背景: 二项分布的另一种极限

• 人群中的身高分布。
• 考试中的分数分布。
• 总之，如果一个时间受很多因素影响。比如考试分数：受到智商、考试状态、任课老师水平等等因素影响，这些因素本身各有分布，由中心极限定理，这些分布加起来的分布就是正态分布。

• 概率密度函数:$X \sim N(u, \sigma^2)$
  $p(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}$
• 期望: $u$, 方差$\sigma^2$
• 代码:

import numpy as np #数组包
from scipy import stats #统计计算包的统计模块
import matplotlib.pyplot as plt #绘图包
# --------分布参数-------------
mu = 160  # 均值
sigma = 5  # 方差
# -----------------------------
X = np.arange(150, 170, 0.1)
p_list = stats.norm.pdf(X,mu, sigma)
plt.plot(X, p_list, linestyle='None', marker='.')
plt.xlabel('Random Variable: X, X(Experimental Result) = The height of human')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('norm, mu:{}; sigma:{}'.format(mu, sigma))

• 结果:

指数分布

• 问题背景: 泊松分布的间隔，连续的几何分布

• 灯泡的寿命
• 等待小卖部第一位客人上门的等待时间。

• 概率密度函数：$X \sim Exp(\lambda)$
  $p(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \lambda \ge0 \\ 0 & else \end{cases}$
• 期望: $\frac{1}{\lambda}$，方差:$\frac{1}{\lambda^2}$
• 代码:

import numpy as np #数组包
from scipy import stats #统计计算包的统计模块
import matplotlib.pyplot as plt #绘图包
# --------分布参数-------------
lam = 5 # 每天来5个人
offset = 0 # 偏移量，从offset开始
# -----------------------------
X = np.arange(0, 20, 0.01)
p_list = stats.expon.pdf(X,0,1/lam)  # 内置函数是使用1/lam作为参数，即间隔(每天来的人之间的间隔时间)。
plt.plot(X, p_list, linestyle='None', marker='.')
plt.xlabel('Random Variable: X, X(Experimental Result) = the interval between two happen things')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('norm, lam:{}'.format(lam))

• 结果

四、各分布之间的关系