最近在搞信息抽取任务，用到了LSTM+CRF模型，之前没有深入了解过，就趁这次好好总结一下。把所有的代码，文章看完一遍后发现，这个LSTM+CRF和一般的CRF还是有点区别的，以及具体的代码实现还是有些细节需要注意的。本文打算对原理，数据的构造，模型的搭建进行详细叙述，不过由于不同人之间的前置知识不同，所以理解起来可能还会有些差别，如果描述的不是很清晰的话，可以在下方评论指出，模型的实现参考李航《统计学习方法第二版》中有关CRF的内容，以及代码具体实现时根据
https://github.com/SkyAndCloud/bilstm_crf_sequence_labeling_pytorch/blob/master/main.pygithub.com
进行了check，保证代码准确性，代码使用了Pytorch框架。
解析分为原理篇和代码篇，此篇为原理篇。
原理解析：
首先我们要知道为什么使用LSTM+CRF，序列标注问题本质上是分类问题，因为其具有序列特征，所以LSTM就很合适进行序列标注，确实，我们可以直接利用LSTM进行序列标注。但是这样的做法有一个问题：每个时刻的输出没有考虑上一时刻的输出。我们在利用LSTM进行序列建模的时候只考虑了输入序列的信息，即单词信息，但是没有考虑标签信息，即输出标签信息。这样会导致一个问题，以“我 喜欢 跑步”为例，LSTM输出“喜欢”的标签是“动词”，而“跑步”的标签可能也是“动词”。但是实际上，“名词”标签更为合适，因为“跑步”这里是一项运动。也就是“动词”+“名词”这个规则并没有被LSTM模型捕捉到。也就是说这样使用LSTM无法对标签转移关系进行建模。而标签转移关系对序列标注任务来说是很重要的，所以就在LSTM的基础上引入一个标签转移矩阵对标签转移关系进行建模。这就和CRF很像了。我们知道，CRF有两类特征函数，一类是针对观测序列与状态的对应关系（如“我”一般是“名词”），一类是针对状态间关系（如“动词”后一般跟“名词”）。在LSTM+CRF模型中，前一类特征函数的输出由LSTM的输出替代，后一类特征函数就变成了标签转移矩阵。
如下图所示，对于一个输入序列
，经过Embedding后得到输入到LSTM中，经过线性层作用后得到每个词对应到每个label（这里有5个label）上的分数。这里label的集合包括起始标签S，结束标签E，以及一般标签L1，L2，L3。
同样的，根据标签转移矩阵
，我们可以得到上一个时刻的标签 为
，下一个时刻标签为
的得分，即
。
LSTM输出每个词在各个标签上的得分
标签转移矩阵T，表示标签之间的转移得分
一般来说，对于一个序列
，如果序列
的长度为
，有
个可能的标签，那么共有
个可能的标记结果，即
个
。我们可以利用LSTM+CRF模型计算出每个可能的标注结果的得分
，然后利用softmax进行归一化求出某个标注结果的概率
，选择概率最大的作为标注结果，这里我们用
表示所有可能路径对应分数的指数和。
这样我们就需要关注几个问题：
1.给定输入
，如何计算某个输出序列
的概率？
2.给定训练数据
，如何对LSTM+CRF模型进行训练？
3.对于训练好的LSTM+CRF模型，给定输入
，如何求得最可能的结果
。
这三个问题其实也就对应CRF的三个基本问题。
首先是第一个问题
根据前面概率的定义，我们可以知道
，一般我们会对其取对数，然后再求解，即求
。所以首先我们讨论给定输入
，如何计算某个输出序列
的分数。
输入LSTM中得到每个词
对应的标签得分分布
。而
的结果是一个矩阵，我们称之为发射矩阵
。对于词
，其
，是一个m维向量，其标签
的得分为
。（
为int型数值，表示标签索引）
而
是一条链，我们将所有的
加起来只是得到了节点的分数，我们还需要求边的分数。即
到
的转移分数，根据前面的定义标签转移矩阵为
，即
到
的转移分数为
。
最后，把所有的分数加起来即可得
。
然后我们需要下一步工作，计算所有可能的路径的分数指数和的对数
。但是我们知道这种情况下共有
个可能的标记结果，如果列举所有的路径再求总分，那么计算量就很大。我们可以考虑采用动态规划的方法，动态规划之所以比列举法高效，是因为它可以复用前面的计算信息，不必在后面重新计算。
我们知道对于
时刻的输出
来说，其有
种可能，如果我们记录下从开始时刻到
时刻时，
取某一个值
时经过的所有路径的分数的指数和的对数
，那么我们就可以利用此信息获得
时刻，
的所有路径的得分的指数和的对数。
我们知道对于
到
，路径得分变化是在原来的基础上加上
。所以
计算图解如下：
这样就需要我们维护一个
维向量
，
表示t时刻，
时的所有路径指数和的对数
。即
如果我们想根据
得到
，则按照前面的公式来说，
当得到最后一个时刻
的
时，我们只需要用
就可以得到最终所有路径的分数的指数和的对数，即
。
这样，我们就能最终得到
。
然后是第二个问题，如何训练模型。
在CRF里面，模型训练方法有点麻烦，但是也还行，不过还是不如LSTM+CRF简单，因为所有的参数都是以神经网络的形式定义，我们只需要表示出损失函数，然后让Pytorch框架自动求导即可。
这里我们使用负对数似然函数作为损失函数，即
，
为
对应的真实标签数据，至于为什么，请参考：
visionshao：极大似然角度下的神经网络分类损失函数zhuanlan.zhihu.com
之后，我们就可以愉快地训练了。
第三个问题，当模型训练好后，如何求得最好的结果。
首先，我们要明白我们要寻找的最优路径即为得分最高的路径，下图是一个demo示例，不同颜色的箭头指向不同的节点，任意时刻，带有颜色的箭头表示的路径是指向该节点的得分最高的路径。
在最后一个时刻T=3，我们只需要找出得分最高的路径（某种颜色表示的路径）指向的节点，然后不断回溯即可找到整体的最优路径。
从上面的叙述中，我们可以发现，要想实现这种方法，我们需要保存每个节点对应的得分最高的路径及其分数。
我们扩展到第一个问题定义的情况下，即
，经过LSTM后得到的发射矩阵为
，标签转移矩阵为
。
首先，t=0时刻，我们获取各个节点对应的最大路径的得分
，即节点的发射得分
。
然后到t=1时刻我们要求各个节点对应的最大得分路径及其得分。
这时我们对
和
使用wise加法，这样，我们就得到一个
的矩阵
，
表示t=0的节点
的最大得分路径到t=1时刻的节点
形成的路径得分。如果我们想求得t=1时刻到节点
的最大得分路径，只需要对
求最大值。同样的，如果我们想得到t=1时刻的各个节点对应的最大路径得分
，我们只需要对
的每一列求最大值。求得最大值的同时将最值路径的来源即箭头的尾部节点记下来，便于遍历查找。这样，我们在得到
的同时，也得到了t=1时刻各个节点对应的最大路径在t=0时刻对应的节点向量
。
然后，不断重复上面的步骤，直到得到t=n-1时刻的
和
。这时
对应的是最后时刻的各个节点对应的最大路径得分。我们求得
中最大值对应的索引
。
这个索引表示最优路径的最后一个节点。然后我们将
带入
，得到
，表示最优路径倒数第二个节点，然后依次类推，知道得到
，这时，最优路径为
。
至此，上述三个问题全部解决。
后面会针对具体实现过程中的代码进行解析，指出一些需要注意的地方。代码地址为
