一、算法的时间复杂度定义
算法的执行时间是通过分局该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。
1、事后统计法
2、事前分析法
我们所讨论的时间复杂度的计算属于事前分析法。公式记作：T(n)=O(f(n))。用大写O()来体现算法时间复杂度。
二、推导大O阶方法（引用）
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
三、推导示例
1、常数阶
首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，是利用高斯定理计算1，2，……n个数的和。
1. int sum = 0, n = 100; /*执行一次*/
2. sum = (1 + n) * n / 2; /*执行一次*/
3. printf("%d",sum); /*执行一次*/
0(1)。
另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句 sum = (1+n)*n/2;
单纯的分支结构(不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是0(1)。
2、线性阶
线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
O(n)， 因为循环体中的代码须要执行n次。
1. int i;
2. for(i = 0; i < n; i++){
3. /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
4. }
3、对数阶
如下代码：
1. int count = 1;
2. while (count < n){
3. count = count * 2;
4. /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
5. }
O(logn)。
4、平方阶
下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。
1. int i, j;
2. for(i = 0; i < n; i++){
3. for(j = 0; j < n; j++){
4. /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
5. }
6. }
而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。 所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(mXn)。
所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢?
1. int i, j;
2. for(i = 0; i < n; i++){
3. for(j = i; j < n; j++){ /*注意j = i而不是0*/
4. /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
5. }
6. }
由于当i=0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n-1次，……当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为:
用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留时(n^2)/2; 第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。
对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力。
5、立方阶
下面例子是一个三重循环嵌套。
1. int i, j;
2. for(i = 1; i < n; i++)
3. for(j = 1; j < n; j++)
4. for(j = 1; j < n; j++){
5. /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
6.
7. }
这里循环了(1^2+2^2+3^2+……+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6次，按照上述大O阶推导方法，时间复杂度为O(n^3)。常见的时间复杂度
常见的时问复杂度如表所示。
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
我们前面已经谈到了。O(1)常数阶、O(logn)对数阶、O(n)线性阶、 O(n^2)平方阶等，像O(n^3)，过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶O(2^n)和阶乘阶O(n!)等除非是很小的n值，否则哪怕n 只是100，都是噩梦般的运行时间。所以这种不切实际的算法时间复杂度，一般我们都不去讨论。
五、最坏情况与平均情况
我们查找一个有n 个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况了。
最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。 在应用中，这是一种最重要的需求， 通常， 除非特别指定， 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
而平均运行时间也就是从概率的角度看， 这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。
