主成分分析(PCA)——以葡萄酒数据集分类为例

1、认识PCA

(1)简介

数据降维的一种方法是通过特征提取实现，主成分分析PCA就是一种无监督数据压缩技术，广泛应用于特征提取和降维。

换言之，PCA技术就是在高维数据中寻找最大方差的方向，将这个方向投影到维度更小的新子空间。例如，将原数据向量x，通过构建  维变换矩阵 W，映射到新的k维子空间，通常()。

原数据d维向量空间  经过 ,得到新的k维向量空间 .

第一主成分有最大的方差，在PCA之前需要对特征进行标准化，保证所有特征在相同尺度下均衡。

(2)方法步骤

标准化d维数据集

构建协方差矩阵。

将协方差矩阵分解为特征向量和特征值。

对特征值进行降序排列，相应的特征向量作为整体降序。

选择k个最大特征值的特征向量，。

根据提取的k个特征向量构造投影矩阵。

d维数据经过变换获得k维。

下面使用python逐步完成葡萄酒的PCA案例。

2、提取主成分

下载葡萄酒数据集wine.data到本地，或者到时在加载数据代码是从远程服务器获取，为了避免加载超时推荐下载本地数据集。

来看看数据集长什么样子！一共有3类，标签为1,2,3 。每一行为一组数据，由13个维度的值表示，我们将它看成一个向量。

开始加载数据集。

importpandas as pdimportnumpy as npfrom sklearn.preprocessing importStandardScalerfrom sklearn.model_selection importtrain_test_splitimportmatplotlib.pyplot as plt#load data
df_wine = pd.read_csv(‘D:\\PyCharm_Project\\maching_learning\\wine_data\\wine.data‘, header=None) #本地加载，路径为本地数据集存放位置#df_wine=pd.read_csv(‘https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/wine/wine.data’,header=None)#服务器加载

下一步将数据按7:3划分为training-data和testing-data，并进行标准化处理。

#split the data，train：test=7:3
x, y = df_wine.iloc[:, 1:].values, df_wine.iloc[:, 0].values
x_train, x_test, y_train, y_test= train_test_split(x, y, test_size=0.3, stratify=y, random_state=0)
#standardize the feature 标准化
sc =StandardScaler()
x_train_std=sc.fit_transform(x_train)
x_test_std= sc.fit_transform(x_test)

这个过程可以自行打印出数据进行观察研究。

接下来构造协方差矩阵。 维协方差对称矩阵，实际操作就是计算不同特征列之间的协方差。公式如下：

公式中，jk就是在矩阵中的行列下标，i表示第i行数据，分别为特征列 j，k的均值。最后得到的协方差矩阵是13*13，这里以3*3为例，如下：

下面使用numpy实现计算协方差并提取特征值和特征向量。

#构造协方差矩阵，得到特征向量和特征值
cov_matrix =np.cov(x_train_std.T)
eigen_val, eigen_vec=np.linalg.eig(cov_matrix)#print(“values\n “, eigen_val, “\nvector\n “, eigen_vec)# 可以打印看看

3、主成分方差可视化

首先，计算主成分方差比率，每个特征值方差与特征值方差总和之比：

代码实现：

#解释方差比
tot = sum(eigen_val) #总特征值和
var_exp = [(i / tot) for i in sorted(eigen_val, reverse=True)] #计算解释方差比，降序#print(var_exp)
cum_var_exp = np.cumsum(var_exp) #累加方差比率
plt.rcParams[‘font.sans-serif‘] = [‘SimHei‘] #显示中文
plt.bar(range(1, 14), var_exp, alpha=0.5, align=‘center‘, label=‘独立解释方差‘) #柱状 Individual_explained_variance
plt.step(range(1, 14), cum_var_exp, where=‘mid‘, label=‘累加解释方差‘) #Cumulative_explained_variance
plt.ylabel(“解释方差率“)
plt.xlabel(“主成分索引“)
plt.legend(loc=‘right‘)
plt.show()

可视化结果看出，第一二主成分占据大部分方差，接近60%。

4、特征变换

这一步需要构造之前讲到的投影矩阵，从高维d变换到低维空间k。