- 0） 引论
正如名字所言，最短路径算法就是为了找到一个图中，某一个点到其他点的最短路径或者是距离。
最短路径算法一般分为四种情况：
a） 无权重的最短路径
b） 有权重的最短路径
c） 边的权重为负的图
d） 无圈的图
ps：上面的情况针对的都是有向图。
- 1） 无权重的最短路径
下图是一个例子：假设我们取点v3作为初始点，计算点v3到图中所有点的路径以及距离（包括点v3）。
a） v3到v3的路径长为0。
b） 沿着v3的邻接点查找，找到v1，那么v3到v1的路径长为1；找到v6，那么v3到v6的路径长为1。
c） v3的邻接点已经找完了，接下来找v1，v6的邻接点。
d） v1的邻接点为v2，v4，它们对应的路经长为2；v6无邻接点，v6部分结束。
e） v2的邻接点为v4，v5，而v4已经查找过了，舍弃；v2到v5的路径长为3；v4的邻接点为v5，v7，而v5已经查找过了，舍弃；v4到v7的路径长为3。
f） 至此，结束。
对于这一步骤，可以用一个表格来表示，以便于编程理解：
表中有3个表示状态的变量：
a） dv表示点s到图中每个点的距离，结合上面的例子，s=v3.
b） pv表示图中点的路径前继点。
c） Known表示点是否被处理，处理了，则标记为1 。
伪代码：
1 void Unweighted(Table T)
2 {
3 int CurrDist;
4 Vertex V,W;
5 for(CurrDist=0;CurrDist<NumVertex;CurrDist++)
6 {
7 for each vertex V
8 if(!T[V].Known&&T[V].Dist==CurrDist)
9 {
10 T[V].Known = True;
11 for each W adjacent to V
12 if(T[W].Dist == Infinity)
13 {
14 T[W].Dist = CurrDist+1;
15 T[W].Path = V;
16 }
17 }
18 }
19 }View Code
通拓扑排序一样，对于上面的程序也是存在改进的地方的（第07行），我们没有必要去对each vertex V做一下这么多的步骤，只需要对相邻接的点做就好了。因此用一个队列来使每一个处理的点入队，然后处理其邻接的点。
1 void Unweighted(Table T)
2 {
3 Queue Q;
4 Vertex V,W;
5
6 Q = CreateQueue(NumVertex);
7 MakeEmpty(Q);
8 Enqueue(S,Q);//S is the start Vertex
9
10 while(!IsEmpty(Q))
11 {
12 V = Dequeue(Q);
13 T[V].Known=True;
14 for each W adjacent to V
15 if(T[W].Dist == Infinity)
16 {
17 T[W].Dist = T[V].Dist+1;
18 T[W].Path = V;
19 Enqueue(W,Q);
20 }
21 }
22 Free(Q);
23 }View Code
- 2） 有权重的最短路径
有权重的最短路径算法，称之为Dijkstra‘s algorithm。相对于无权重的最短路径算法，有权重的最短路径算法会显得难一点，这是因为权重的引入会使某些路径的加权重长度发生颠倒。
Dijkstra‘s algorithm是一种greedy algorithm。贪婪算法就是在算法的每一个阶段都取最大值。一般情况下，贪婪算法能取得较好的效果。但是贪婪算法是有其缺陷的，也就是说能达到局部最优，而未必能达到全局最优，举个例子，假设要兑换15分的硬币，而硬币有12分的，10分的，5分的，1分的，那么根据贪婪算法，最终的兑换结果为1个12分的，3个一分的；而最优结果应该是一个10分的，一个5分的。（这里我们定义最优为硬币个数最少）。
Dijkstra‘s algorithm的步骤是：
对于每一个阶段，Dijkstra‘s algorithm会在所有未处理的点中选取一个最小距离的点v，然后把给定点s到v的路径定义为最小路径。
下面是一个例子：
对应的表的形式表示：
下面是具体的实现说明：
a） 最初的点s=v1；计算s到图中所有点的最短路径。
b） 找到v1邻接的点v2，v4，分别标出s到v2，v4的路径长，同时对v1标注T[v1].Known=1。
c） 由于v4路径长较小，因此选择v4，找到v4邻接的点v3，v5，v6，v7，标注出他们的路径长；同时对v1标注T[v4].Known=1。
d） 现有的所有未处理路径中v2最短，因此处理v2，找到v2邻接的点v4，v5； v2到v4，v5的路径长远大于v4，v5已有的路径长，因此不更新。同时T[v2].Known=1。
e） 现有的所有未处理路径中v3，v5最短，处理v3，邻接点为v1，v6，路径分别为7,8；对于v3到v6的距离，因为8<9，因此需要更新；对于v3到v1的距离不需要更新。同时T[v3].Known=1。
f） 对于v5，邻接点为v7，v5到v7的路径长为 3+6>5，因此不更新；同时T[v5].Known=1。
g） 现在处理v7，v7的邻接点为v6，v7到v6的路径长为5+1<8，因此需要更新；同时T[v7].Known=1。
h） 现在处理v6，v6没有邻接点了，因此可以结束了。同时T[v6].Known=1。
伪代码实现：
1 typedef int Vertex;
2 typedef int DistType;
3
4 struct TableEntry
5 {
6 List Header;
7 int Known;
8 DistType Dist;
9 Vertex Path;
10 }
11
12 #define NotAVertex (-1)
13 typedef struct TableEntry Table[NumVertex];
14
15 void InitTable(Vertex Start,Graph G,Table T)
16 {
17 int i;
18 ReadGraph(G,T);
19 for(i=0;i<NumVertex;i++)
20 {
21 T[i].Known = 0;
22 T[i].Dist = Infinity;
23 T[i].Path = NotAVertex;
24 }
25 T[Start].Dist = 0;
26 }
27
28 void Dijkstra(Table T)
29 {
30 Vertex V,W;
31 for(;;)
32 {
33 V = FindSmallestUnknownDistanceVertex();
34 if(V==NotAVertex)
35 break;
36 T[V].Known = Ture;
37 for each W adjacent to V
38 if(!T[V].Known)
39 if(T[V].Dist+Cvw<T[W].Dist)
40 {
41 Decrease(T[W].Dist to T[V].Dist+Cvw);
42 T[W].Path = V;
43 }
44 }
45 }View Code
相对于无权重的最短路径，这里权重的更新为Dist = Dist + Cvw；
- 3） 边的权重为负的图
边的权重为负，这将是一个比较糟糕的事情，这无法利用上面的两种方法处理，因为只要循环负边，则路径可以无限变小，如下图所示：
点1到点6的最短路径是2么？当然不是，我们没法求出其最短路径，因为我们可以沿着路径1,6,5,7,6这样一次下来，路径为-3，由于6,5,7,6是一个圈，我们可以一直循环下去且路径为负值，因此无法确定点1到点6的最短路径。
那么遇到这种问题该怎么解决呢？
a） 给所有权重加上一个正值，是所有权重均为非负，上面的例子中，所有权重加上11，则就可以应用Dijkstra方法处理了。这样是不能直接实现的，那些具有许多条边的路径变得比那些具有很少边的路径权重重更多了。
b) 把赋值和无权的算法结合起来解决该问题。
- 4） 无圈的图
对于无圈图，也可以应用Dijkstra方法处理，无圈图也可以看做是上面的一种特例。对于无圈图，可以利用拓扑排序的顺序选择起始点，权重的更新也可以按照拓扑排序的顺序进行，因此算法可以一次进行，这个可以看做是对Dijkstra方法的改进，并且是向简单方向的改进。
无圈图可以模拟像下坡滑雪等问题，一直需要沿着向下的方向，不应该有圈。
而无圈图的最大应用不在这里，而是一个被称之为关键路径分析法的应用。
如下图所示：
这幅图表示的意思是要想做D中的事情，必须先做完A和B，而A,B则是可以并行的。因此这个图中的问题不是寻找最短路径，而是找到并行完成图中的所有点所需要的最短时间，以及最晚的时间。
解决这个问题需要把上面的动作节点图转换为下面的事件节点图
对于事件节点图，只需要找出第一个事件到最后一个事件的最长路径的长就好了。
假设ECi表示节点i的最早完成时间，那么利用下面的法则
最早完成时间结果为：
