在SVM的前三篇里，我们优化的目标函数最终都是一个关于α向量的函数。而怎么极小化这个函数，求出对应的α向量，进而求出分离超平面我们没有讲。本篇就对优化这个关于α向量的函数的SMO算法做一个总结。
1. 回顾SVM优化目标函数
我们首先回顾下我们的优化目标函数：
我们的解要满足的KKT条件的对偶互补条件为：
根据这个KKT条件的对偶互补条件，我们有：
2.SMO算法的基本思想
上面这个优化式子比较复杂，里面有m个变量组成的向量α需要在目标函数极小化的时候求出。直接优化时很难的。SMO算法则采用了一种启发式的方法。它每次只优化两个变量，将其他的变量都视为常数。由于∑i=1mαiyi=0.假如将α3,α4,...,αm 固定，那么α1,α2之间的关系也确定了。这样SMO算法将一个复杂的优化算法转化为一个比较简单的两变量优化问题。
为了后面表示方便，我们定义Kij=ϕ(xi)∙ϕ(xj)
由于α3,α4,...,αm都成了常量，所有的常量我们都从目标函数去除，这样我们上一节的目标优化函数变成下式：
3. SMO算法目标函数的优化
为了求解上面含有这两个变量的目标优化问题，我们首先分析约束条件，所有的α1,α2都要满足约束条件，然后在约束条件下求最小。
根据上面的约束条件α1y1+α2y2=ς ， 0≤αi≤C ， i=1,2，又由于y1,y2均只能取值1或者-1, 这样α1,α2在[0,C]和[0,C]形成的盒子里面，并且两者的关系直线的斜率只能为1或者-1，也就是说α1,α2的关系直线平行于[0,C]和[0,C]形成的盒子的对角线，如下图所示：
由于α1,α2的关系被限制在盒子里的一条线段上，所以两变量的优化问题实际上仅仅是一个变量的优化问题。不妨我们假设最终是α2的优化问题。由于我们采用的是启发式的迭代法，假设我们上一轮迭代得到的解是α1_old,α2_old，假设沿着约束方向α2未经剪辑的解是α2_new,unc.本轮迭代完成后的解为α1_new,α2_new
由于α2_new必须满足上图中的线段约束。假设L和H分别是上图中α2_new所在的线段的边界。那么很显然我们有：
而对于L和H，我们也有限制条件如果是上面左图中的情况，则
如果是上面右图中的情况，我们有：
也就是说，假如我们通过求导得到的αnew,unc2，则最终的α2_new应该为：
那么如何求出α_new,unc呢？很简单，我们只需要将目标函数对α2求偏导数即可。
首先我们整理下我们的目标函数。
为了简化叙述，我们令
其中g(x)就是我们在第一节里面的提到的
我们令
这样我们的优化目标函数进一步简化为：
将上式带入我们的目标优化函数，就可以消除α1,得到仅仅包含α2的式子。
然后我们就可以对α2求偏导了：
整理上式有：
利用上面讲到的α2_new,unc和αnew2的关系式，我们就可以得到我们新的α2_new了。利用α2_new和α1_new的线性关系，我们也可以得到新的α1_new。
4. SMO算法两个变量的选择
SMO算法需要选择合适的两个变量做迭代，其余的变量做常量来进行优化，那么怎么选择这两个变量呢？
4.1 第一个变量的选择
SMO算法称选择第一个变量为外层循环，这个变量需要选择在训练集中违反KKT条件最严重的样本点。对于每个样本点，要满足的KKT条件我们在第一节已经讲到了：
一般来说，我们首先选择违反0<α∗i<C⇒yig(xi)=1这个条件的点。如果这些支持向量都满足KKT条件，再选择违反α∗i=0⇒yig(xi)≥1 和 α∗i=C⇒yig(xi)≤1的点。
4.2 第二个变量的选择
SMO算法称选择第二个变量为内层循环，假设我们在外层循环已经找到了α1, 第二个变量α2的选择标准是让|E1−E2|有足够大的变化。由于α1定了的时候,E1也确定了，所以要想|E1−E2|最大，只需要在E1为正时，选择最小的Ei作为E2， 在E1为负时，选择最大的Ei作为E2，可以将所有的Ei保存下来加快迭代。
如果内存循环找到的点不能让目标函数有足够的下降， 可以采用遍历支持向量点来做α2,直到目标函数有足够的下降， 如果所有的支持向量做α2都不能让目标函数有足够的下降，可以跳出循环，重新选择α1
4.3 计算阈值b和差值Ei
在每次完成两个变量的优化之后，需要重新计算阈值b。当0≤α1_new≤C时，我们有：
于是新的b1_new为:
5. SMO算法总结
输入是m个样本(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym),,其中x为n维特征向量。y为二元输出，值为1，或者-1.精度e。
输出是近似解α。
算法流程：
