Python s域传递函数转离散系统

假如设计好了一个控制器，得到了它的传递函数，那么该怎么在单片机中实现它呢？里面都是微积分，该怎么编程呢？这就要设计到传函的离散化了。

1：离散化

1.1、离散化的目的

• 将s域下的传递函数转换为离散的z域函数；
• 将离散域下的函数转化为差分方程，然后在单片机中实现；

1.2、离散化的方法

常用的离散化方法有：

1. 前向差分法；
2. 后向差分法：
3. 双线性变换法；
4. 零阶保持器法；
5. 一阶保持器法；
6. 脉冲响应不变法；

前三种方法比较简单，传递函数中，直接用 z和s的关系进行替换就行：

其中Ts为离散化采样时间。

可以借助matlab工具进行离散化，matlab提供多种离散化的方法；
dsys=c2d(sys,ts,’method’); % 传函离散，其中ts表示离散的采样周期，method表示离散的方法；sys表示s域传函，dsys表示对应的z域传函；

其中method包括以下几种方法：

• zoh 零阶保持器；
• foh 一阶保持器；
• tustin 双线性变换法；
• matched 零极点匹配法；
• impulse 脉冲响应不变法；

1.3、使用不同离散化方法的影响

下面我们首先使用不同离散化方法对传函G(s) = 1/(0.2s+1)进行离散，离散化采样时间Ts=0.05：

然后对比不同离散化方法后的伯德图和未离散化的系统伯德图：

从伯德图中可以看出，前向差分法离散化以后偏离实际的系统更远，不能保证系统的稳定性。而
后向差分法和双线性变换法，更接近未离散化的伯德图，所以后向差分法和双线性变换法在工程中较为常用。

2：传函到单片机实现的例子

假设一个低通滤波器的传函为：

我们先用matlab工具看下他的特性；

>> num=1;
den=[6.687e-4,1];
sys=tf(num,den);
p=bodeoptions;
p.FreqUnits= 'Hz';
bode(sys,p)

看下他的伯德图：

从图中可以看到该低通滤波器截止频率为237Hz，截止频率处的相移位45度；我们也用simulink搭建一个仿真，验证下当该滤波器输入一个237HZ的正弦波时，输出是不是一个为-3dB衰减，且相移45度的正弦波；

仿真如下：

波形如下：

图中sine ware和sin wave1两个波形是相差90度的，而滤波出来的Transfer Fcn波形可以正好相差45度，衰减-3dB；

我们现在用matlab对他进行离散化

num=1;
den=[6.687e-4,1];
sys=tf(num,den);
ts=64e-6;
>>  dsys=c2d(sys,ts,'z') % 注意连续转离散（c2d），和离散转连续（d2c）的用法

dsys =
 
   0.09127
  ----------
  z - 0.9087

然后我们用simulink再搭建他对应的离散传函下的系统特性有没有变化；

采样时间为ts=64e-6；

波形如下：

从图中可以看出滤波出来的DiscreteTransfer Fcn波形正好相差45度，衰减-3dB；所以他的离散下的特性没变；

下面将离散域下的函数转化为差分方程

假设输入为x,输出为y；

转化为上面的差分方程后，就可以在单片机中实现了，我们也可以在simulink中用sfun仿真；

看下转化为数字滤波后的特性是否发生变化。同样输入赋值为1，频率为237HZ的正玄波。仿真如下：

sfun如下：

function y = fcn(u)
persistent yl;  %定义一个静态变量
if isempty(yl)  %给静态变量赋初值
   yl=0;
end
persistent ul;
if isempty(ul)
    ul=0;
end

y=0.9086*yl+0.09136*ul;
yl=y;
ul=u;

仿真波形如下：

从图中可以看出滤波出来的MATLAB Function波形正好相差45度，衰减-3dB；注意：可能有的人会问，一阶低通滤波器的差分方程的形式不应该是 ：

是的。这个是用一阶后项差分法离散后得出的差分方程；

因为没有找到，matlab中传函怎么进行一阶后项差分离散（也就是用$s=\frac{1-z^{-1}}{Ts}$替代）；

其实我们也可以定义符号变量进行替代。

>> syms s z Ts;%定义符号变量 
s=(1-z^-1)/Ts;%一阶后项差分
sys=1/(s+1);
subs(sys,[s],[z])%传递函数中用z替代s
 
ans =
 
-1/((1/z - 1)/Ts - 1) %这里我们可以对符号表达式进行各种化简
                      %参见matlab符号表达式的化简常用命令函数
 simplify(ans) %对结果进行化简
                     
 
ans =
 
(Ts*z)/(z + Ts*z - 1)
 
>> pretty(ans)%美化下结果
    Ts z
------------
z + Ts z - 1

化成差分方程的形式：

以上整个就是传函的离散化的单片机实现的过程了。