需要泊松回归的原因
对因变量是离散型变量的问题建模时，普通的线性回归模型、定序回归模型和逻辑回归模型已经能解决我们大部分的需求。但有一类特殊的因变量记录某个特定事件出现的次数（有序的非负整数），它们被称之为“计数数据”。如果我们按照普通的线性回归模型建模：
虽然等号两边都是具有数值意义的实数，但是等号右边可以是任意连续值，但是等号左边只能是非负实数（计数数据）。因此普通的线性回归模型是无法对计数数据建模的。
泊松回归的假设&模型建立
为了拟合计数数据，我们可以根据泊松分布做出如下假设：
- 任意相等时间间隔内，事件的平均出现次数是固定的
- 任给的两次等待时间是否发生事件是相互独立的
根据如上假设，我们可以设定事件在单位时间内发生
次的概率为：
其中
表示单位时间内事件发生次数的期望。
只能是非负整数，但是期望
却可以是小数。
因为
是连续的，因此我们可以直接考虑自变量和
之间的关系，另外考虑到
是非负实数，我们可以建立线性回归模型：
参数估计
假设
是第
个样本的观测，其中
表示自变量向量，
k_iki表示因变量（即样本在单位时间内出现的次数）。根据假定的模型，我们可以得到该样本的概率为：
根据所有样本，我们计算出整个样本集的似然函数：
其中
表示参数向量，取对数后得到表达式：
对“对数似然函数”求极值后我们可以得到参数估计值，记为
检验统计量
泊松回归模型中
的真实分布是未知的，但是基于中心极限定理，
将近似服从正态分布：
因此只要我们能准确地估计
的标准差
，我们就可以构造如下检验统计量对各个自变量的显著性进行检验：
在原假设成立的情况下，该检验统计量近似服从标准正态分布。因此对于给定的显著性水平如
，我们可以根据
的绝对值是否大于
来决定是否拒绝原假设。
如果需要检验模型的整体显著性水平，我们可以使用似然比检验，其统计量为：
这里乘上系数主要是方便构造具有特殊分布的检验统计量，属于统计推断中的常见做法。
其中
表示长度为
自变量系数向量。当原假设成立且样本量足够大时
近似服从自由度为
的卡方分布，自此我们即可完成模型整体显著性水平的检验。
