状态方程的求解Python 状态方程输入变量

文章目录

• 状态方程和输出方程

• 基本的状态空间方程

• 线性非线性时变时不变
• 系统的能控能观
• 状态方程的解

• 无输入线性时不变

• 转移矩阵
• 拉普拉斯求转移矩阵

• 有输入线性时不变

控制什么？
输入u1,u2,u3,…输出y1,y2,y3…的系统。u是控制量，y是响应结果，也可以被反馈测量到。

状态方程和输出方程

基本的状态空间方程

第一行是状态方程，第二行是输出方程。

首先x是状态变量。一个x就是系统的一个状态。但也不能随便找系统中一个变量就都当作状态，找来做状态变量的状态，它的初值一定要与输出量y密切相关。看起来，状态变量像是系统的中间量。但实际上它的初值能够决定输出。简单来说，系统的输出与输入以及状态变量初值有关。

比如一个LRC电路，R的电压可以测量，想把它作为输出，输入当然就是电源电压u。至于状态变量，我们都知道，该电路的状态与电源电压u，电容电压初值uc，电感电流初值il有关，那便把uc,iL作为状态变量，这些东西已经足够描述这个电路了。至于电感电压，电容电流这些东西就不重要了。

系统由状态变量描述。状态变量由输入以及状态变量自己的初值决定。输出可以根据需求随便选。

线性非线性时变时不变

方程能写成下面这样就是线性系统：当然下面这些A,B,C,D矩阵都是可以随时间变化的。

假设有两个状态变量，拿一个状态变量来举例子，比如x1，当系统线性时，x1的微分可以拿x1,x2，u1,u2的线性组合来表示，而不是$x^2_1, e^{x_1}$,这种怪东西的组合来表示。

线性时不变就是上面的A,B,C,D不随时间变化。

非线性时变系统：

系统的能控能观

能控：输入量能控状态变量
能观：通过看输出量可以知道状态变量
由此可见，系统的核心是状态变量。

状态方程的解

要求解这个：

无输入线性时不变

转移矩阵

无输入线性时不变的状态方程为：

如果只有一个状态变量，便很容易求解：

$e^{at}$泰勒展开：

把里面的a改成矩阵A，并假设改之后的展开式为$e^{At}$

把右边的展开式乘以x(0)后代入原状态方程中，发现是符合的，那就说明所谓的“$e^{At}x(0)$”就是状态方程的解。用一个转移矩阵和状态变量初值来表示状态方程的解：尤其注意所谓的$e^{At}$是个临时定义的东西。

而且：

$\Phi (t)=e^{At}$

拉普拉斯求转移矩阵

上面的$e^{At}$是个一长串的东西，根本写不出来，要求转移矩阵的话要还是得用拉普拉斯表示。

求出来转移矩阵的拉普拉斯形式后，再反变换即可。

有输入线性时不变

首先直接拉式变换：

反变换：

第一项就是转移矩阵，齐次解；第二项是转移矩阵的拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯相乘，在时域上就是卷积，特解。
求解的时候，首先应该知道转移矩阵的时域形式（用上一节的方法），然后按照上面的式子卷积。

输出方程的解：

第一项是零输入响应，后面两个是零状态响应。