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本系列文章为《机器学习实战》学习笔记，内容整理自书本，网络以及自己的理解，如有错误欢迎指正。
源码在Python3.5上测试均通过，代码及数据 --> https://github.com/Wellat/MLaction
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1、连续和离散型特征的树的构建
决策树算法主要是不断将数据切分成小数据集，直到所有目标变量完全相同，或者数据不能再切分为止。它是一种贪心算法，并不考虑能否达到全局最优。前面介绍的用ID3构建决策树的算法每次选取当前最佳的特征来分割数据，并按照该特征的所有可能取值来划分，这种切分过于迅速，且不能处理连续性特征。另外一种方法是二元切分法，每次把数据集切成两份，如果数据的某特征等于切分所要求的值，那么这些数据就进入树的左子树，反之右子树。二元切分法可处理连续型特征，节省树的构建时间。
这里依然使用字典来存储树的数据结构，该字典将包含以下4个元素：
- 待切分的特征
- 待切分的特征值
- 右子树，不需切分时，也可是单个值
- 左子树，右子树类似
本章将构建两种树：第一种是第2节的回归树（regression tree），其每个叶节点包含单个值；第二种是第3节的模型树（model tree），其每个叶节点包含一个线性方程。创建这两种树时，我们将尽量使得代码之间可以重用。下面先给出两种树构建算法中的一些共用代码。
1 from numpy import *
2
3 def loadDataSet(fileName):
4 '''
5 读取一个一tab键为分隔符的文件，然后将每行的内容保存成一组浮点数
6 '''
7 dataMat = []
8 fr = open(fileName)
9 for line in fr.readlines():
10 curLine = line.strip().split('\t')
11 fltLine = map(float,curLine)
12 dataMat.append(fltLine)
13 return dataMat
14
15 def binSplitDataSet(dataSet, feature, value):
16 '''
17 数据集切分函数
18 '''
19 mat0 = dataSet[nonzero(dataSet[:,feature] > value)[0],:]
20 mat1 = dataSet[nonzero(dataSet[:,feature] <= value)[0],:]
21 return mat0,mat1
22
23 def createTree(dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1,4)):
24 '''
25 树构建函数
26 leafType:建立叶节点的函数
27 errType:误差计算函数
28 ops:包含树构建所需其他参数的元组
29 '''
30 #选择最优的划分特征
31 #如果满足停止条件，将返回None和某类模型的值
32 #若构建的是回归树，该模型是一个常数；如果是模型树，其模型是一个线性方程
33 feat, val = chooseBestSplit(dataSet, leafType, errType, ops)
34 if feat == None: return val #
35 retTree = {}
36 retTree['spInd'] = feat
37 retTree['spVal'] = val
38 #将数据集分为两份，之后递归调用继续划分
39 lSet, rSet = binSplitDataSet(dataSet, feat, val)
40 retTree['left'] = createTree(lSet, leafType, errType, ops)
41 retTree['right'] = createTree(rSet, leafType, errType, ops)
42 return retTree
2、CART回归树
CART（Classification And Regression Trees, 分类回归树）是十分著名的树构建算法，它使用二元切分来处理连续性变量，对其稍作修改就可处理回归问题。
2.1 构建树
①切分数据集并生成叶节点
给定某个误差计算方法，chooseBestSplit()函数会找到数据集上最佳的二元切分方式，此外，该函数还要确定什么时候停止切分，一旦停止切分会生成一个叶节点。该函数伪代码大致如下：
②计算误差
这里采用计算数据的平方误差。
Python代码：
1 def regLeaf(dataSet):
2 '''负责生成叶节点'''
3 #当chooseBestSplit()函数确定不再对数据进行切分时，将调用本函数来得到叶节点的模型。
4 #在回归树中，该模型其实就是目标变量的均值。
5 return mean(dataSet[:,-1])
6
7 def regErr(dataSet):
8 '''
9 误差估计函数，该函数在给定的数据上计算目标变量的平方误差，这里直接调用均方差函数
10 '''
11 return var(dataSet[:,-1]) * shape(dataSet)[0]#返回总方差
12
13 def chooseBestSplit(dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1,4)):
14 '''
15 用最佳方式切分数据集和生成相应的叶节点
16 '''
17 #ops为用户指定参数，用于控制函数的停止时机
18 tolS = ops[0]; tolN = ops[1]
19 #如果所有值相等则退出
20 if len(set(dataSet[:,-1].T.tolist()[0])) == 1:
21 return None, leafType(dataSet)
22 m,n = shape(dataSet)
23 S = errType(dataSet)
24 bestS = inf; bestIndex = 0; bestValue = 0
25 #在所有可能的特征及其可能取值上遍历，找到最佳的切分方式
26 #最佳切分也就是使得切分后能达到最低误差的切分
27 for featIndex in range(n-1):
28 for splitVal in set(dataSet[:,featIndex]):
29 mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, featIndex, splitVal)
30 if (shape(mat0)[0] < tolN) or (shape(mat1)[0] < tolN): continue
31 newS = errType(mat0) + errType(mat1)
32 if newS < bestS:
33 bestIndex = featIndex
34 bestValue = splitVal
35 bestS = newS
36 #如果误差减小不大则退出
37 if (S - bestS) < tolS:
38 return None, leafType(dataSet)
39 mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, bestIndex, bestValue)
40 #如果切分出的数据集很小则退出
41 if (shape(mat0)[0] < tolN) or (shape(mat1)[0] < tolN):
42 return None, leafType(dataSet)
43 #提前终止条件都不满足，返回切分特征和特征值
44 return bestIndex,bestValue主要测试命令：
>>> reload(regTrees)
>>> myData = regTrees.loadDataSet('ex00.txt')
>>> myMat = mat(myData)
>>> regTrees.createTree(myMat)【注意】本代码在Python3.5环境下测试未通过，错误发生在以上第5行-->return mean(dataSet[:,-1])
错误类型为 TypeError: unsupported operand type(s) for /: 'map' and 'int' 暂未找到解决办法。所以，以下测试结果均来自书本。
2.2 剪枝
一棵树如果节点过多，表明该模型可能对数据进行了“过拟合”。通过降低决策树的复杂度来避免过拟合的过程称为剪枝(pruning) 。
①预剪枝
在函数chooseBestSplit()中的提前终止条件，实际上是在进行一种所谓的预剪枝(prepruning)操作。树构建算法其实对输人的参数tols和tolN非常敏感，如果使用其他值将不太容易达到这么好的效果。
②后剪枝
使用后剪枝方法需要将数据集分成测试集和训练集。首先指定参数，使得构建出的树足够大、足够复杂，便于剪枝。接下来从上而下找到叶节点，用测试集来判断将这些叶节点合并是否能降低测试误差。如果是的话就合并 。
Python实现代码：
1 def prune(tree, testData):
2 '''回归树剪枝函数'''
3 if shape(testData)[0] == 0: return getMean(tree) #无测试数据则返回树的平均值
4 if (isTree(tree['right']) or isTree(tree['left'])):#
5 lSet, rSet = binSplitDataSet(testData, tree['spInd'], tree['spVal'])
6 if isTree(tree['left']): tree['left'] = prune(tree['left'], lSet)
7 if isTree(tree['right']): tree['right'] = prune(tree['right'], rSet)
8 #如果两个分支已经不再是子树，合并它们
9 #具体做法是对合并前后的误差进行比较。如果合并后的误差比不合并的误差小就进行合并操作，反之则不合并直接返回
10 if not isTree(tree['left']) and not isTree(tree['right']):
11 lSet, rSet = binSplitDataSet(testData, tree['spInd'], tree['spVal'])
12 errorNoMerge = sum(power(lSet[:,-1] - tree['left'],2)) +\
13 sum(power(rSet[:,-1] - tree['right'],2))
14 treeMean = (tree['left']+tree['right'])/2.0
15 errorMerge = sum(power(testData[:,-1] - treeMean,2))
16 if errorMerge < errorNoMerge:
17 print("merging")
18 return treeMean
19 else: return tree
20
21 def isTree(obj):
22 '''判断输入变量是否是一棵树'''
23 return (type(obj).__name__=='dict')
24
25 def getMean(tree):
26 '''从上往下遍历树直到叶节点为止，计算它们的平均值'''
27 if isTree(tree['right']): tree['right'] = getMean(tree['right'])
28 if isTree(tree['left']): tree['left'] = getMean(tree['left'])
29 return (tree['left']+tree['right'])/2.0测试命令：
reload(regTrees)
myData2 = regTrees.loadDataSet('ex2.txt')
myMat2 = mat(myData2)
from numpy import *
myMat2 = mat(myData2)
regTrees.createTree(myMat2)
myTree = regTrees.createTree(myMat2, ops=(0,1))
myDataTest = regTrees.loadDataSet('ex2test.txt')
myMat2Test = mat(myDataTest)
regTrees.prune(myTree, myMat2Test)
3、模型树
①叶节点
用树建模，除了把叶节点简单地设定为常数值外，还可把叶节点设定为分段线性函数，这里的分段线性是指模型由多个线性片段组成。
如下图所示数据，如果使用两条直线拟合是否比使用一组常数来建模好呢？答案显而易见。可以设计两条分别从0.0~0.3、从0.3~1.0的直线，于是就可以得到两个线性模型。因为数据集里的一部分数据(0.0~0.3)以某个线性模型建模，而另一部分数据(0.3~1.0)则以另一个线性模型建模，因此我们说采用了所谓的分段线性模型。
②误差计算
前面用于回归树的误差计算方法这里不能再用。稍加变化，对于给定的数据集，先用线性的模型来对它进行拟合，然后计算真实的目标值与模型预测值间的差值。最后将这些差值的平方求和就得到了所需的误差。
与回归树不同，模型树Python代码有以下变化：
1 def linearSolve(dataSet):
2 '''将数据集格式化成目标变量Y和自变量X，X、Y用于执行简单线性回归'''
3 m,n = shape(dataSet)
4 X = mat(ones((m,n))); Y = mat(ones((m,1)))
5 X[:,1:n] = dataSet[:,0:n-1]; Y = dataSet[:,-1]#默认最后一列为Y
6 xTx = X.T*X
7 #若矩阵的逆不存在，抛异常
8 if linalg.det(xTx) == 0.0:
9 raise NameError('This matrix is singular, cannot do inverse,\n\
10 try increasing the second value of ops')
11 ws = xTx.I * (X.T * Y)#回归系数
12 return ws,X,Y
13
14 def modelLeaf(dataSet):
15 '''负责生成叶节点模型'''
16 ws,X,Y = linearSolve(dataSet)
17 return ws
18
19 def modelErr(dataSet):
20 '''误差计算函数'''
21 ws,X,Y = linearSolve(dataSet)
22 yHat = X * ws
23 return sum(power(Y - yHat,2))测试命令：
>>> regTrees.createTree(myMat,regTrees.modelLeaf,regTrees.modelErr.(1,10))4、实例：树回归与标准回归的比较
前面介绍了模型树、回归树和一般的回归方法，下面测试一下哪个模型最好。这些模型将在某个数据上进行测试，该数据涉及人的智力水平和自行车的速度的关系。
1 def createForeCast(tree, testData, modelEval=regTreeEval):
2 # 多次调用treeForeCast()函数，以向量形式返回预测值，在整个测试集进行预测非常有用
3 m=len(testData)
4 yHat = mat(zeros((m,1)))
5 for i in range(m):
6 yHat[i,0] = treeForeCast(tree, mat(testData[i]), modelEval)
7 return yHat
8
9 def treeForeCast(tree, inData, modelEval=regTreeEval):
10 '''
11 # 在给定树结构的情况下，对于单个数据点，该函数会给出一个预测值。
12 # modeEval是对叶节点进行预测的函数引用，指定树的类型，以便在叶节点上调用合适的模型。
13 # 此函数自顶向下遍历整棵树，直到命中叶节点为止，一旦到达叶节点，它就会在输入数据上
14 # 调用modelEval()函数，该函数的默认值为regTreeEval()
15 '''
16 if not isTree(tree): return modelEval(tree, inData)
17 if inData[tree['spInd']] > tree['spVal']:
18 if isTree(tree['left']): return treeForeCast(tree['left'], inData, modelEval)
19 else: return modelEval(tree['left'], inData)
20 else:
21 if isTree(tree['right']): return treeForeCast(tree['right'], inData, modelEval)
22 else: return modelEval(tree['right'], inData)
23
24 def regTreeEval(model, inDat):
25 #为了和modeTreeEval()保持一致，保留两个输入参数
26 return float(model)
27
28 def modelTreeEval(model, inDat):
29 #对输入数据进行格式化处理，在原数据矩阵上增加第0列，元素的值都是1
30 n = shape(inDat)[1]
31 X = mat(ones((1,n+1)))
32 X[:,1:n+1]=inDat
33 return float(X*model)测试命令：
#回归树
>>> reload(regTrees)
>>> trainMat = mat(regTrees.loadDataSet('bikeSpeedVsIq_train.txt'))
>>> testMat = mat(regTrees.loadDataSet('bikeSpeedVsIq_test.txt'))
>>> myTree = regTrees.createTree(trainMat, ops=(1,20))
>>> yHat = regTrees.createForeCast(myTree, testMat[:,0])
>>> corrcoef(yHat, testMat[:,1], rowvar=0)
array([[ 1. , 0.96408523],
[ 0.96408523, 1. ]])
#模型树
>>> myTree = regTrees.createTree(trainMat, regTrees.modelLeaf, regTrees.modelErr
, (1,20))
>>> yHat = regTrees.createForeCast(myTree, testMat[:,0], regTrees.modelTreeEval)
>>> corrcoef(yHat, testMat[:,1], rowvar=0)[0,1]
0.97604121913806285
# 标准回归
>>> ws, X, Y = regTrees.linearSolve(trainMat)
>>> ws
matrix([[ 37.58916794],
[ 6.18978355]])
>>> for i in range(shape(testMat)[0]) :
... yHat[i] = testMat[i,0]*ws[1,0] + ws[0,0]
...
>>> corrcoef(yHat, testMat[:,1], rowvar=0)[0,1]
0.94346842356747584
THE END.
