整数的划分问题是一个很经典的问题，它的变形也非常的多，总结了一下，大概有以下几种变形：
1) 将 N 划分为若干个正整数的和的划分数
2) 将 N 划分为若干个不同的正整数的和的划分数
3) 将 N 划分为不超过K 个正整数的和的划分数
4) 将 N 划分为不超过K 个不同正整数的和的划分数
5) 将 N 划分为最大数不超过K 的正整数的和的划分数
6) 将 N 划分为若干个连续正整数的和的划分数
ohoh，怎么这么多@@
变形(1): 将 N 划分为若干个正整数的和的划分数。比如 6，可以这样划分：
6
5 + 1
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
所以答案应该是 11.
分析：
根据 n和 m的关系，考虑以下几种情况：
(1 )当 n=1时，不论 m的值为多少（ m>0)，只有一种划分即 {1};
(2) 当 m=1时，不论 n的值为多少，只有一种划分即 n个 1， {1,1,1,...,1};
(3) 当 n=m时，根据划分中是否包含 n，可以分为两种情况：
( a)划分中包含 n的情况，只有一个即 {n}；
( b)划分中不包含 n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n小，即 n的所有 (n-1)划分。
因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
( 4)当 n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 f(n,n);
( 5)但 n>m时，根据划分中是否包含最大值 m，可以分为两种情况：
( a)划分中包含 m的情况，即 {m, {x1,x2,...xi}}, 其中 {x1,x2,... xi} 的和为 n-m，可能再次出现 m，因此是（ n-m）的 m划分，
因此这种划分个数为 f(n-m, m);
( b)划分中不包含 m的情况，则划分中所有值都比 m小，即 n的 (m-1)划分，个数为 f(n,m-1);
因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
因此，设dp[n][m] 表示将 n 划分为 最大数不超过 m 的划分个数，有
dp[n][m] = 1 ( m = 1)
dp[n][m] = dp[n][m-1] + 1 ( m = n)
dp[n][m] = dp[n][n] ( m > n)
dp[n][m] = dp[n][m-1] + dp[n-m][m] ( m < n)
Code:
[cpp] view plain
copy
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 500
using namespace std;
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
int i,j;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i = 1;i < MAXN; ++i)
dp[i][1] = 1;
for(i = 1;i < MAXN; ++i)
for(j = 1;j < MAXN; ++j){
if(i > j)
dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];
else if(i == j)
dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;
else dp[i][j] = dp[i][i];
}
}
变形(2):将 N 划分为若干个不同正整数的和的划分数 TOJ.3511 Staircases
依然是DP，转移方程为 a[k][n]=a[k+1][n]+a[k+1][n-k];其中a[k][n]表示将n划分为不小于k种不同的数的划分法。
初始化为 a[n][n]=1 ; a[k][n]=0 (k>n).
Code：
[cpp] view plain
copy
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 500
using namespace std;
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
int i,j;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i = 1;i < MAXN; ++i)
dp[i][i] = 1;
for(i = 2;i < MAXN; ++i)
for(j = 1;j < i; ++j)
dp[j][i] = 0;
for(i = 2;i < MAXN; ++i)
for(j = i-1;j >= 1; --j)
dp[j][i] = dp[j+1][i] + dp[j+1][i-j];
}
变形(3):将 N 划分为不超过K 个正整数的和的划分数
解法：dp[i][j] 表示将 i 划分为 j 份的划分数，则转换为求 sigma( dp[N][ i ] ) (i <= K);
dp[i][j] 的转移方程为 dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j];
详细见http://wurong81.spaces.live.com/blog/cns!5EB4A630986C6ECC!254.entry
Code:
[cpp] view plain
copy
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 500
using namespace std;
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
int i,j;
// 求将某个数划分为 m 份的划分数
for(i = 1;i < MAXN; ++i)
for(j = 1;j <= (i<m?i:m); ++j)
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j];
}
变形(4):将 N 划分为不超过K 个不同正整数的和的划分数
解法：即为变形2的方程意义。a[k][n] 表示将 N 划分为不超过K份不同的数的和的划分数
变形(5):
变形(6): 这个最简单了。N 可以写为连续K(K >= 2)个正整数的和，则K <= sqrt(2*N);
令 i 从 K 到 2 循环，如果 i 为奇数 且 N %i == 0,则可分解为 i 个数，第一个数为 N/i - i/2;
如果 i 为偶数 且 N %i == i/2，则可分解为i 个数，第一个数为 (N-1)/i - i/2 + 1;
