蒙特卡罗方法与三门问题
蒙特·卡罗方法(Monte Carlo method),也称统计模拟方法。是一种统计学的方法、模拟方法,通过大量随机样本模拟问题,从而获得所要计算的值。
三门问题:
三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率?如果严格按照上述的条件,即主持人清楚地知道,自己打开的那扇门后是羊,那么答案是会。不换门的话,赢得汽车的几率是1/3。换门的话,赢得汽车的几率是2/3。
蒙特卡洛思想在三门问题上的应用
应用蒙特卡洛重点在使用随机数来模拟类似于赌博问题的赢率问题,并且通过多次模拟得到所要计算值的模拟值。在三门问题中,用0、1、2分别代表三扇门的编号,在[0,2]之间随机生成一个整数代表奖品所在门的编号prize,再次在[0,2]之间随机生成一个整数代表参赛者所选择的门的编号guess。用变量change代表游戏中的换门(ture)与不换门(false):
这样大量重复模拟这个过程(10000次或者100000次)就可以得到换门猜中的概率和不换门猜中的概率。
使用python(python对缩进有要求,要特别注意),编程实现:
# -*- coding: utf-8 -*-
import random
#玩游戏,change:是否换门
def play(change):
#奖品为[0,2]之间的一个随机整数
prize=random.randint(0,2)
#在[0,2]之间生成一个随机整数作为参赛者猜的门的编号
guess=random.randint(0,2)
#假设一开始猜中
if(prize==guess):
if(change):
return False
else:
return True
#假设一开始猜错
else:
if(change):
return True
else:
return False
#计算赢率,N代表模拟次数,change代表是否换门
def winRate(change,N):
win=0
#range范围为:[0,N)
for i in range(0,N):
if (play(change)):
win=win+1
print("中奖率为:")
print(win/N)
N=1000000
print("玩"+str(N)+"次,每一次都换门:")
winRate(True,N)
print('\n')
print("玩"+str(N)+"次,每一次都不换门:")
winRate(False,N)