非线性方程组 java

第一章 线性方程组解法

• 代数学起源于解方程（代数方程）

• 一元一次、一元二次、一元三次、一元四次都有求根公式（通过系数进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到解），一元五次以上方程就不再有求根公式了（近世代数）
• 二元一次方程组、三元一次方程组、……、n元一次方程组（线性代数研究对象）
• 高等代数——线性代数+多项式理论

1. 线性方程组的同解变形、线性组合、初等变换、消去法

• 例1
  

1. 同解变形：用3种同解变形必可化方程组为阶梯型

1. 交换两个方程位置
2. 用非0的数c乘某个方程两边
3. 用某个方程的k倍加到另一个方程

2. 线性组合：设是一些方程，称为的一个线性组合。（由组成的方程组与同解）

• 例2
  
  由于 ，故第个方程是多余的。

3. 一般，
   m个方程n个未知数的线性方程组，系数是第个方程第个未知数的系数。（数域），此时解也在中。

• 数域：复数的子集对加、减、乘、除（分母不为0）封闭，称为数域。如，，。

2. 矩阵的有关概念

2. 上述方程组完全由表
3. 决定，



• 由
• 行
• 列的数（
• ）组成的表，用圆括号（或方括号）限定，称为数域
• 上一个
• 矩阵。
• 矩阵中各行称为向量（行向量），如
• 是一个向量，可看作一行的矩阵。同样的，各列称为列向量。
• 0向量：
• 。
5. 矩阵的初等变换：
6. 必可由初等变换化为阶梯形矩阵，称为方程组的矩阵消元法
1. 交换两行
3. 乘某行
4. 某行k倍加到另一行

3. 解线性方程组的矩阵消元法

2. 考虑方程组



3. 称



4. 为
5. 的系数矩阵，



6. 为
7. 的增广矩阵。
• 方程组与它的增广矩阵互相唯一决定。
• 对
• 进行初等变换化为阶梯形，再解相应的阶梯形方程组。
• 例



• 解：





• 可见阶梯形可以不规则



• 改写为



• 令
• 自由取值为
• ，得解



• 其中，
• 称为自由未知量，的原方程的无穷多组解。
• 命题：设方程组的增广矩阵
• 化为阶梯形后，含
• 个非0行，且最后一个非0行
• ，则方程组有
• 个自由未知量，从而有无穷组解。（
• 称为矩阵
• 的秩：化为阶梯形后的非0行数）
• 定理1：用初等行变换把增广矩阵
• 化为阶梯形后，记
• 为系数矩阵
• 的秩，
• 为增广矩阵的秩（有
• ），则
  A.
• 时方程组无解
  此时最后一行
• 无解，表现为
• 的阶梯形中最后一行为
• 方程组有解
  B.
• 时方程组有解
  a.
• （未知数个数），有无穷组解，此时有
• 个自由未知量
  b.
• 时有唯一一组解
10. 通解：设方程组有无穷组解
11. ，则有
12. 个自由未知量
13. ，令
14. 得



15. 其中
16. 称为方程组的通解。
    通解也可写成向量式
17. 
    
18. 特解：通解中的某个具体的解。
20. 解集合：
21. 
    

4. 齐次线性方程组（右边常数项全为0）

这里只考虑一次齐次方程组

2. 系数矩阵
3. 的秩
4. 时必有非0解，
5. 时只有0解
7. 若齐次线性方程组的方程个数
8. （未知数个数），必有非0解。（此时
9. 的必有非0解）