自适应的Lasso回归 自适应预期模型的特点

自适应控制

1. 自适应控制所讨论的对象，一般是指对象的结构已知，仅仅是参数未知，而且采用的控制方法仍是基于数学模型的方法
2. 但实践中我们还会遇到结构和参数都未知的对象，比如一些运行机理特别复杂，目前尚未被人们充分理解的对象，不可能建立有效的数学模型，因而无法沿用基于数学模型的方法解决其控制问题，这时需要借助人工智能学科，也就是智能控制
3. 自适应控制与常规的控制与最优控制一样，是一种基于数学模型的控制方法
4. 自适应控制所依据的关于模型的和扰动的先验知识比较少，需要在系统的运行过程中不断提取有关模型的信息，使模型愈来愈准确
5. 常规的反馈控制具有一定的鲁棒性，但是由于控制器参数是固定的，当不确定性很大时，系统的性能会大幅下降，甚至失稳

设计思路

问题的提出

对于一个非线性系统

$\dot{x} =-ax^{2}+u$
$a$是未知参数，$u$是控制输入

要求设计一个合理的控制信号$u$，使得系统状态$x( t)$跟踪上期望信号$x_{d}( t)$，假设$x_{d}( t)$是解析并有界的，且其微分$\dot{x}_{d}( t)$也是连续且有界的，这个假设在实际中可以满足，因为跟踪信号往往是认为设计的

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解决思路

对于现代控制理论，正如前面所述，设计控制信号实际上是设计误差动力学系统，因此，设误差信号$e( t) =x( t) -x_{d}( t)$，则误差的动力学系统方程为

$\dot{e}( t) =-ax^{2}( t) +u-\dot{x}_{d}( t)$

由于原系统是满足matching条件的，即控制信号和未知参数处于一个方程中，那么根据等价确定性原则(certainty equivalence, CE）设计控制器

$u=\hat{a} x^{2} +\dot{x}_{d} -Ke$ ----------- (2)
$\hat{a}$是参数$a$的估计值
$K>0$是控制器参数

接下来需要设计估计参数$\hat{a}$的更新律，这里采用结合Lyapunov稳定性进行设计
假设$\tilde{a} =\hat{a} -a$，将控制$u$代入(1)，则(1)可以写成

$\dot{e}( t) =\tilde{a} x^{2}( t) -Ke( t)$

定义Lyapunov函数

$V\left( e,\tilde{a}\right) =\dfrac{1}{2} e^{2} +\dfrac{1}{2\eta }\tilde{a}^{2}$

求导，得

$\dot{V}\left( e,\tilde{a}\right) =e\dot{e} +\dfrac{1}{\eta }\tilde{a} \cdot \dot{\tilde{a}} =e\dot{e} +\dfrac{1}{\eta }\tilde{a} \cdot \dot{\hat{a}}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =e\left(\tilde{a} x^{2} -Ke\right) +\dfrac{1}{\eta }\tilde{a} \cdot \dot{\hat{a}} =-Ke^{2} +\tilde{a}\left( ex^{2} +\dfrac{1}{\eta }\dot{\hat{a}}\right)$

为了达到系统的稳定，则要使得$\dot{V}\leq 0$，因此，设计$\hat{a}$的更新律为

$\dot{\hat{a}} =-\eta \cdot e\cdot x^{2}$

代入，得到

$\dot{V}\left( e,\tilde{a}\right) \leq 0$

由(4),(6)的positive definite特性可以确定(4)是一个合理的Lyapunov函数，由(6)可知(4)有界，即$e$和$\tilde{a}$也有界，且$e$平方可积。根据期望信号$x_{d}$的假设，以及参数误差和跟踪误差的定义可知，$x$与$\hat{a}$也是有界的，因此由(2)得到的控制$u$也是有界的，且由(1)得到$\dot{e}( t)$也有界。
由Barbalat’s Lemma可得$\dot{e}( t)$uniformly continuous且

$\lim _{t\rightarrow \infty } e( t) =0$

由此可以得到系统渐进稳定，但是我们此时只是得到了系统的跟踪误差渐进收敛到0，但是参数的估计误差并没有收敛到0，因为我们设计参数的更新律时，是从系统的角度来设计的。

综合，整体思路为，先求出对期望信号$x_{d}( t)$跟踪误差的误差动态方程；根据等价确定性原则(certainty equivalence, CE）设计控制器$u(t)$，包含耦合抵消项和线性负反馈项两项组成，其中的未知参数用其参数估计值代替；然后设计Lyapunov函数，求导得出参数估计更新律；最后在保证Lyapunov函数导数非正的情况下，根据Barbalat引理得出跟踪误差渐近收敛得结论

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存在的问题

参数估计的更新律中，并没有包含参数估计误差的负反馈，而是与跟踪误差直接耦合在一起$\dot{\hat{a}} =-\eta \cdot e\cdot x^{2}$，结果导致跟踪误差影响参数估计的过程，而参数估计在控制器中直接影响跟踪误差，两者的直接耦合造成了系统闭环性能的下降

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改进

解决办法就是浸入与不变(Immersion and Invariance, I&I)理论。通过引入关于状态的修正项，从而间接将未知参数引入到参数估计动态当中

我们需要人为设计估计误差的动态特性，此时$u$是已知量，对于这个问题不同于控制系统的设计在于，我们并不知道$z$的具体值，因为我们队最终参数$\theta$是未知的，所以我们只能利用已经存在的动态结构，最大可能的构造利于证明收敛的自适应律，也就是$\dot{\hat{\theta }}$，相当于控制系统设计中的$u$
对于，$\dot{z} =-\dfrac{\partial \beta }{\partial x} \cdot x^{2} \cdot z$，我们需要构造Lyapunov函数，设计$\beta ( x)$，从而证明了参数收敛的稳定性。

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总结

两种设计方法只不过是将自适应律的设计问题的转化了而已，原先的自适应律的设计是直接根据整个系统的Lyapunov进行设计，改进的方法是建立参数的动态模型，并根据此系统的Lyapunov进行设计