算法

  • 一.数据结构与算法关系
  • 二.算法定义
  • 三.算法的特性
  • 1.输入输出
  • 2.有穷性
  • 3.确定性
  • 4.可行性
  • 四.算法设计的要求
  • 1.正确性
  • 2.可读性
  • 3.健壮性
  • 4.时间效率高和存储量低
  • 五.算法效率的度量方法
  • 1.事后统计方法
  • 2.事前分析估算方法
  • 六.函数的渐近增长
  • *七.算法时间复杂度
  • 1.算法时间复杂度定义
  • 2.推导大O阶方法
  • 3.常数阶
  • 4.线性阶
  • 5.对数阶
  • 6.平方阶
  • 八.常见的时间复杂度
  • 九.最坏情况与平均情况
  • 十.算法空间复杂度


一.数据结构与算法关系

数据结构是底层，算法高层。数据结构为算法提供服务。算法围绕数据结构操作。

二.算法定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

三.算法的特性

1.输入输出

算法具有零个或多个输入
算法至少又1个或多个输出

2.有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一步在可接受的时间内完成。

3.确定性

确定性：算法的每一个步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

4.可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能通过执行有限次数完成

四.算法设计的要求

1.正确性

正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
算法的"正确"可分为以下几个层次

1.算法程序没有语法错误。
2.算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
3.算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
3.算法程序对于精心挑选的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。
2.可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读，理解和交流。

3.健壮性

健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名奇妙的结果。

4.时间效率高和存储量低

时间效率高：对于同一个问题，如果有多个算法能够解决，执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。
存储量低：算法执行过程中所需要的最大存储空间。
设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

五.算法效率的度量方法

1.事后统计方法

事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同的算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
这种方法的缺陷

1.必须依据算法事先编制好程序
2.时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素。
3.程序的运行时间与测试数据的规模有很大关系
2.事前分析估算方法

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

经分析发现，程序在计算机上的运行时间消耗取决于以下因素

1.算法采用的策略，方法（算法好坏的根本）
2.编译产生的代码质量（软件支持）
3.问题的输入规模
4.机器指令的执行速度（硬件性能）

测定运行时间最可靠的方法就是计算对运行时间有消耗的基本操作的执行次数。运行时间跟这个计数成正比。

数据结构与算法分析... 877数据结构与算法分析_时间复杂度

六.函数的渐近增长

函数的渐近增长：给定两个函数f（n）和g（n），如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f（n）总比g（n）大，那么，我们说f（n）的渐近增长快于g（n）。
判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

*七.算法时间复杂度

1.算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T（n）=O（f（n））。他表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f（n）是问题规模n的某个函数。

2.推导大O阶方法
推导大O阶
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3.如果最高阶存在且不是1，则除去与这个项相乘的常数
得到的结果就是大O阶
3.常数阶

在保留最高阶项时发现没有最高阶项，这个算法时间复杂度就是O（1）。

4.线性阶

分析时间复杂度关键是分析循环结构的运行情况

for(int i=0;i<n;i++)
{
	/*时间复杂度为O（1）的序列*/
}

像这种从某个常数到n的循环时间复杂度就为O（n）。

5.对数阶

例如

int count = 1;
while (count<n)
{
	count*=2;
	/*时间复杂度为O（1）的序列*/
}

这样的程序执行次数就是2x=n，可以得到x=log2n所以时间复杂度为O（log n）。

6.平方阶

存在最高阶项，且最高阶不为1，除去其他项和最高阶项的系数，得到的就是平方阶，时间复杂度为O（nx）,x代表最高阶项阶数。

八.常见的时间复杂度

数据结构与算法分析... 877数据结构与算法分析_运行时间_02


常见的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是

数据结构与算法分析... 877数据结构与算法分析_数据结构与算法分析..._03

九.最坏情况与平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，就是运行时间不会再坏了。通常，除非特别指定，我们说的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均运行时间是所以情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。
时间复杂度一般都指最坏时间复杂度

十.算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S（n）=O（f（n）），其中，n为问题的规模，f（n）为语句关于n所占存储空间的函数。