opencv获取模板旋转角度

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云端行者 2024-12-22 09:52:00

文章标签 opencv获取模板旋转角度 Math 旋转矩阵叉积 文章分类 计算机视觉人工智能

1、旋转向量与旋转矩阵的联系：

处理三维旋转问题时，通常采用旋转矩阵的方式来描述。一个向量乘以旋转矩阵等价于向量以某种方式进行旋转。除了采用旋转矩阵描述外，还可以用旋转向量来描述旋转，旋转向量的长度（模）表示绕轴逆时针旋转的角度（弧度）。旋转向量与旋转矩阵可以通过罗德里格斯（Rodrigues）变换进行转换。

opencv获取模板旋转角度_Math

OpenCV实现Rodrigues变换的函数为

int cvRodrigues2( const CvMat* src, CvMat* dst, CvMat* jacobian=0 );

src为输入的旋转向量（3x1或者1x3）或者旋转矩阵（3x3）。

dst为输出的旋转矩阵（3x3）或者旋转向量（3x1或者1x3）。

jacobian为可选的输出雅可比矩阵（3x9或者9x3），是输入与输出数组的偏导数。

1.旋转角度

已知旋

3. 罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)

3.1 公式

已知单位向量，将它旋转θ角。由罗德里格旋转公式，可知对应的旋转矩阵：

其中I是3x3的单位矩阵，

是叉乘中的反对称矩阵r：

转前向量为

P, 旋转后变为 Q 。由点积定义可知：

可推出P，Q之间的夹角为：

2. 旋转轴

由1中可知，旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面，那么旋转轴必垂直该平面。

假定旋转前向量为a(a1, a2, a3)，旋转后向量为b（b1, b2, b3)。由叉乘定义得：

所以旋转轴c(c1, c2, c3)为：

3. 罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)

3.1 公式

已知单位向量，将它旋转θ角。由罗德里格旋转公式，可知对应的旋转矩阵：

公式（1）：

其中I是3x3的单位矩阵，

其中的R[0][0]本来应当是：1+cosa+（-Wz^2-Wy^2）(1-cosa),但这里使用的是：

opencv获取模板旋转角度_叉积_02

，是化简后的式子。

因为其在前面有个 r=r/norm(r)，这是对向量r进行归一化是的有个 X^2+Y^2+Z^2=1;

是叉乘中的反对称矩阵r：

其C#代码实现过程为：

根据旋转前后的两个向量值，使用上面的方法，先求出旋转角度和旋转轴，然后用罗德里格旋转公式即可求出对应的旋转矩阵。

void Calculation(double[] vectorBefore, double[] vectorAfter)
{
    double[] rotationAxis;
    double rotationAngle;
    double[,] rotationMatrix;
    rotationAxis = CrossProduct(vectorBefore, vectorAfter);
    rotationAngle = Math.Acos(DotProduct(vectorBefore, vectorAfter) / Normalize(vectorBefore) / Normalize(vectorAfter));
    rotationMatrix = RotationMatrix(rotationAngle, rotationAxis);
}
double[] CrossProduct(double[] a, double[] b)
{
    double[] c = new double[3];
    c[0] = a[1] * b[2] - a[2] * b[1];
    c[1] = a[2] * b[0] - a[0] * b[2];
    c[2] = a[0] * b[1] - a[1] * b[0];
    return c;
}
double DotProduct(double[] a, double[] b)
{
    double result;
    result = a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];
    return result;
}
double Normalize(double[] v)
{
    double result;
    result = Math.Sqrt(v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2]);
    return result;
}
double[,] RotationMatrix(double angle, double[] u)
{
    double norm = Normalize(u);
    double[,] rotatinMatrix = new double[3,3];
    u[0] = u[0] / norm;   //这里就是上面的归一化。
    u[1] = u[1] / norm;
    u[2] = u[2] / norm;
    rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[0] * u[0] * (1 - Math.Cos(angle));   //这就是上面的<span style="color: rgb(255, 0, 0); font-family: 宋体; font-size: 16px;">公式（1）矩阵</span>
    rotatinMatrix[0, 1] = u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle) - u[2] * Math.Sin(angle));
    rotatinMatrix[0, 2] = u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[1, 0] = u[2] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[1, 1] = Math.Cos(angle) + u[1] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[1, 2] = -u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[2, 0] = -u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[2, 1] = u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[2, 2] = Math.Cos(angle) + u[2] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    return rotatinMatrix;
}

小知识点：

1、点积的意义：

设向量A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2）(一)向量的点积向量的点积定义： AB=|A||B|cos<A,B> 其运算结果是一个常量。将其转换成矩阵乘法是 AB = matrix(A)*matrix(B)=(x1,y1,z1)*(x2,y2,z2)=x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

其主要是用来求两个向量的夹角；这在图像处理的主要用来判定两条边是否是垂直，用于矩形判定。其是没有什么几何意义的。因为其是其中一条边长的投影与另一个边长的乘积，这个可以用来判断构成的矩形的边长是否足够长。

(二)向量的叉积

向量的叉积的模定义：

=|A||B|sin<A,B>

其几何意义是以|A|，|B|为边长的平行四边形的面积。

向量的叉积定义：

A×B=( y1z2 - y2z1 , x1z2 - x2z1 , x1y2 - x2y1)

利用向量的叉乘性质可以求取一个平面的法向量。这里的叉乘是定义旋转轴的。

物理意义：。

向量的叉积很有意思，按照爱因斯坦的相对论，在观察一个目标运动时，需要采用特定的参照系。

利用向量的叉积可以创造出一个新的维度，而这个维度是独立于(垂直于)先前这个空间的，因此，在这个新的维度空间可以当成目标运动的参照系。

3、反对称矩阵：