python中豪斯多夫距离代码 豪斯多夫性质

一、定义

给定欧氏空间中的两点集 $A= \{a_1,a_2,...\},B= \{b_1,b_2,...\}$ ，豪斯多夫（Hausdorff）距离就是用来衡量这两个点集间的距离。定义公式如下：
$H(A,B)=\max[h(A,B),h(B,A)]$其中，
$h(A,B)=\max_{a\in A}\min_{b\in B} ||a-b||\\ h(B,A)=\max_{b\in B}\min_{a\in A} ||b-a||$
$H(A,B)$ 称为双向 Hausdorff 距离， $h(A,B)$ 称为从点集A到点集B的单向 Hausdorff 距离。相应地 $h(B,A)$

二、例子

下面从一个例子来理解 Hausdorff 距离：

上图中，给出了 A,B,C,D 四条路径，其中路径 A 具体为（16-17-18-19-20），路径 B 具体为（1-2-3-4-9-10）。要求 Hausdorff 距离 $H(A,B)$，则需要先求出单向 Hausdorff 距离 $h(A,B)$ 和 $h(B,A)$。

对于$h(A,B)$，以 A 中的点 16 为例，在路径 B中的所有点中，距离点 16 最近的是点 1 ，距离为 3。即： $\min_{b\in B} ||a_{(16)}-b||=3$

同理由图可得：
$\min_{b\in B} ||a_{(17)}-b||=3\\ \min_{b\in B} ||a_{(18)}-b||=3\\ \min_{b\in B} ||a_{(19)}-b||=2\\ \min_{b\in B} ||a_{(20)}-b||=2\\$
在它们中，值最大的为 3，故 $h(A,B)=3$

同理可得，$h(B,A)=4$

所以 $H(A,B)=max[h(A,B),h(B,A)]=4$

同理可求出上图中四条路径间的单向 Hausdorff 距离如下表所示：

三、性质

• 双向 Hausdorff 距离 $H(A,B)$ 是单向 Hausdorff 距离 $h(A,B)$ 和 $h(B,A)$

• 如上图，当 A 和 B 都是闭集的时候，Hausdorff 距离满足度量的三个定理：

1. $H(A,B)\geq0$ ，当且仅当 $A=B$ 时，$H(A,B)=0$
2. $H(A,B)=H(B,A)$
3. $H(A,B) + H(B,C)\geq H(A,C)$

• 若凸集 $A,B$ 满足 $A\not\subset B$ 且 $B\not\subset A$，并记 $\partial A，\partial B$ 分别为 $A,B$ 边界的点集合，则 $A,B$ 的 Hausdorff 距离等于 $\partial A，\partial B$
• Hausdorff 距离易受到突发噪声的影响。

当图像受到噪声污染或存在遮挡等情况时，原始的 Haudorff 距离容易造成误匹配。所以，在1933年，Huttenlocher 提出了部分 Hausdorff 距离的概念。
简单地说，包含 $q$ 个点的集合 $B$ 与集合 $A$ 的部分 Hausdorff 距离就是选取 $B$ 中的 $K(K\geq1且K\leq{q})$ 个点，然后求这 $K$ 个点到 $A$ 集合的最小距离，并排序，则排序后的第 $K$ 个值就是集合 $B$ 到集合 $A$ 的部分单向 Hausdorff 距离。定义公式如下：
$h_K(A,B)=K^{th} \max_{a\in A}\min_{b\in B}||a-b||$
相应地，部分双向 Hausdorff 距离定义为：
$H_K(A,B)=\max[h_K(A,B),h_K(B,A)]$