java 混音算法 混响delay算法

系列文章目录

• Delay Line 简介及其 C/C++ 实现
• LFO 低频振荡器简介及其 C/C++ 实现

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文章目录

• 系列文章目录
• 一、Delay 是什么
• 二、Delay 原理

• 2.1 The Basic Delay
• 2.2 Delay With Feedback
• 2.3 Wet & Dry

• 三、Delay C/C++ 实现
• 总结
• 参考

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一、Delay 是什么

Delay（延迟）是一种信号处理技术，它将输入信号纪录起来，然后过一段时间再播放。当延迟信号与当前信号混合时，会产生类似回声（Echo）的效果。大多数人都有过在大山中大喊的经历，声音在山谷之间传递，回声余音袅袅。没错，所谓的 Echo 就是这种感觉。看下面两个对比视频，加深对 Echo 的理解：

土拨鼠的尖叫

土拨鼠的尖叫-Echo

毫无疑问，Delay 是当今市场上最强大的音乐制作工具之一。我们听到的几乎所有的调制效果都是用特定的延时创造的。

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二、Delay 原理

2.1 The Basic Delay

最简单 Delay，即输入信号与延迟信号叠加得到输出信号，差分方程如下：
$y(n)=x(n)+x(n-D) \tag{1}$
其中 $D$ 为延迟时间，更准确的说，表示延迟了 $D$

我们对（1）进行 Z 变换，以此来探究 Basic Delay 对频率的影响：

$\begin{aligned} y(n) &=x(n)+x(n-D) \\ Y(z) &=X(z)+X(z) z^{-D} \\ &=X(z)\left(1+z^{-D}\right) \\ H(z) &=\frac{Y(z)}{X(z)}=1+z^{-D} \end{aligned} \tag{2}$

从 $H(z) = 1+z^{-D}$ 可以推断出它没有极点，只有 D 个零点。接下来求它的零点：

$\begin{aligned} 1+z^{-D} = 0 \\ z^{-D} = -1 \end{aligned}$

接下来就是复数次方根的求解了，这部分内容可以参考 「珂学原理」No.110「复数的n次方根」。这里就不在重复视频提到的方法，而是利用欧拉公式求解。让 $z =e^{j \omega}$ ，通过欧拉公式转换得到：

$\cos (D \omega)+j \sin (D \omega)=-1$

由于 $-1$ 为实数，无复数部分，因此可得：

$\begin{aligned} \cos (D \omega) = -1 \\ \omega=\pm \frac{k \pi}{D} \quad k=1,3,5, \ldots, D \end{aligned}$

当 $D=2$ 时，$\omega=\pm \frac{\pi}{2}$

当 $D=4$ 时，$\omega=\pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$

当 $D=5$ 时，$\omega=\pm \frac{\pi}{5}, \pm \frac{3\pi}{5}, \pm \pi$

我们发现 D 个零点是平均分布在单位元上的，不同 D 的频谱响应如下图所示。

在 $D=32$

此外，我们还可以在 Audition 上使用 Basic Delay 对扫频信号进行处理，可以看到明显的梳妆特征。

处理前：

处理后：

2.2 Delay With Feedback

Basic Delay 只能产生单一的回声，应用比较有限。大多数 Delay 算法还会包含一个反馈控制，它将延迟后的信号以一定比例送回输入，如下图所示：

假设反馈控制那一条信号为 $g(n)$，那么上图的差分方程为：
$y(n) = x(n) + g(n)\\ \text{其中，} g(n) = x(n-D) + fg(n-D)$
进一步推导有：
$\begin{aligned} y(n-D) &= x(n-D) + g(n-D) \\ g(n-D) &= y(n-D) - x(n-D)\\ \end{aligned}\tag{3}$
$\begin{aligned} g(n) &= x(n-D) + fg(n-D) \\ &= x(n-D) + f(y(n-D) - x(n-D)) \\ &= (1-f)x(n-D) + fy(n-D) \\ \text{因此} \\ y(n) &= x(n) + g(n) \\ &= x(n) + (1-f)x(n-D) + fy(n-D) \end{aligned}\tag{4}$

对上述差分方程进行 Z 变换得：

$\begin{aligned} &Y(z) = X(z) + (1-f)z^{-D}X(z) + fz^{-D}Y(z) \\ &(1-fz^{-D})Y(z) = (1+(1-f)z^{-D})X(z) \\ \end{aligned} \tag{5}$

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1+(1-f)z^{-D}}{1-fz^{-D}} = \frac{z^D + 1 - f}{z^D - f} \tag{6}$

从公式（6）可知该滤波器有 D 个零点和 D 个极点，平均分布在单位圆内。再一次，复数次方根求解请参考 「珂学原理」No.110「复数的n次方根」。不同 D 值的频响曲线和零极点分布图如下：

2.3 Wet & Dry

我们称处理后的信号为 “湿” 的信号，未经处理的信号为 “干”信号。一种更加实用的 Delay 算法将会 “湿” 信号和 “干” 信号进行 mix，并通过 Wet 和 Dry 两个系数来控制干湿比。其块状图如下：

差分方程为：
$y(n) = dry*x(n) + wet*g(n) \tag{7}$

z 变换推导和之前类似，不再赘述了。

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三、Delay C/C++ 实现

说完原理，我们来说具体要如何实现。通常，Delay 使用 Delay Line 来实现，整体实现并不复杂，用一个函数就可以简单概况：

void process(AudioBuffer<float> *buffer,
            int delay_samples, float feedback, float dry, float wet) {

    for (size_t c = 0; c < buffer->getNumberChannels(); ++c) {
        float *channel = buffer->getWriterPointer(c);
        auto *dline = dlines_.getDelayLine(c);
        
        for (size_t i = 0; i < buffer->getNumberFrames(); ++i) {
            float in = channel[i];
            float d_y = dline->get(delay_samples);
            float d_x = in + feedback * d_y;

            dline->push(d_x);

            channel[i] = dry * in + wet * d_y;
        }
    }
}

上述代码中：

1. buffer->getWriterPointer(c) 和 dlines_.getDelayLine(c) ，分别获取当前声道数据和当前声道所使用的 Delay Line
2. 在第二个 for 循环中，实现了公式（7）中的代码

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总结

以上就是今天的全部内容，我们首先介绍了 Delay 是什么，它可以产生 Echo，用于音效制作上；接着介绍了 Delay 的数学原理，从 Basic Delay 逐步发展到最终版本 Delay with Dry&Wet；最后还给出了 Delay 的 C/C++ 实现代码。

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