剑指 Offer 16. 数值的整数次方
题目：实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，x^n）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。
示例 1：
输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000
示例 2：
输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100
示例 3：
输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2负2次方 = 1/2的平方 = 1/4 = 0.25
提示：
-100.0 < x < 100.0
-2的31次方 <= n <= 2的31次方-1
-10的4次方 <= x的n次方 <= 10的4次方
解题思路：
求 x^n最简单的方法是通过循环将n个x乘起来，依次求 x^1, x^2, …, x^n-1, x^n，时间复杂度为O(n)。
快速幂法可将时间复杂度降低至O(log2n) ，以下从 “二分法” 和 “二进制” 两个角度解析快速幂法。
快速幂解析（二进制角度）：
利用十进制数字n的二进制表示，可对快速幂进行数学化解释。
- 对于任何十进制正整数n ，设其二进制为 “bm…b3b2b1”（bi为二进制某位值，i∈[1,m] ），则有：
- 二进制转十进制： n = 1b1 + 2b2 + 4b3 + … + 2^(m-1)（即二进制转十进制公式） ；
- 幂的二进制展开： x^n =x^1b1 + 2b2 + 4b3 + … + [2^(m-1)bm]= x^1b1 * x^2b2 * x^4b3 *…x[2(m-1)bm]；
- 根据以上推导，可把计算 x^n转化为解决以下两个问题：
- 计算 x^1, x^2, x^4, …, [x2]m-1的值： 循环赋值操作 x = x^2即可；
- 获取二进制各位 b1, b2, b3, …, bm的值： 循环执行以下操作即可。
1、n&1 （与操作）：判断n二进制最右一位是否为 1 ；
2、n>>1（移位操作）：n右移一位（可理解为删除最后一位）。
- 因此，应用以上操作，可在循环中依次计算的值，并将所有
累计相乘即可
- 当 bi =0：
- 当 bi =1时：
快速幂解析（二分法角度）：
快速幂实际上是二分思想的一种应用。
- 二分推导:
，令n/2为整数，则需要分为奇偶两种情况（设向下取整除法符号为"//"）：
- 当n为偶数：
- 当n为奇数：
，即会多出一项x；
- 幂结果获取
- 根据二分推导，可通过循环x= x^2操作，每次把幂从n降至n//2，直至将幂降为0；
- 设 res=1，则初始状态 x^n = [x^n] * res 。在循环二分时，每当n为奇数时，将多出的一项x乘入res ，则最终可化至 x^n =[x^0] * res = res，返回res即可。
- 转化为位运算： 向下整除n//2等价于右移一位n>>1； 取余数n%2等价于判断二进制最右一位值n&1；
算法流程：
1、当x=0 时：直接返回0（避免后续x=1/x 操作报错）。
2、初始化res=1；
3、当n<0 时：把问题转化至n≥0 的范围内，即执行x=1/x ，n=−n；
4、循环计算：当n=0时跳出；
（1）当n&1=1时：将当前x乘入res（即res*=x ）；
（2）执行 x = x^2（即 x *= x）；
（3）执行n右移一位（即n>>=1）。
5、返回res 。
复杂度分析：
时间复杂度O(log2n) ： 二分的时间复杂度为对数级别。
空间复杂度 O(1) ： res, b等变量占用常数大小额外空间。
代码：
Java 代码中 int32 变量n∈[−2147483648,2147483647] ，因此当n=−2147483648时执行n=−n会因越界而赋值出错。解决方法是先将n存入 long 变量b ，后面用b操作即可。
class Method{
public double myPow(double x, int n) {
if(x == 0) return 0;
long b = n;
double res = 1.0;
if(b < 0) {
x = 1 / x;
b = -b;
}
while(b > 0) {
if((b & 1) == 1) res *= x;
x *= x;
b >>= 1;
}
return res;
}
}剑指 Offer 17. 打印从 1 到最大的 n 位数
题目：输入数字 n，按顺序打印出从 1 到最大的 n 位十进制数。比如输入 3，则打印出 1、2、3 一直到最大的 3 位数 999。
示例 1:
输入: n = 1
输出: [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
说明：
用返回一个整数列表来代替打印；
n 为正整数；
解题思路：
题目要求打印 “从1至最大的n位数的列表”，因此需考虑以下两个问题：
1、最大的n位数（记为end）和位数n的关系：例如最大的1位数是9 ，最大的2位数是 99，最大的3位数是 999 。则可推出公式：
end = 10^n - 1
2、大数越界问题： 当n较大时，end 会超出int32 整型的取值范围，超出取值范围的数字无法正常存储。但由于本题要求返回int类型数组，相当于默认所有数字都在 int32 整型取值范围内，因此不考虑大数越界问题。
因此，只需定义区间[1,10^n −1] 和步长1，通过for循环生成结果列表res并返回即可。
复杂度分析：
时间复杂度 O(10^n)：生成长度为 10^n的列表需使用 O(10^n)时间。 空间复杂度 O(1) ： 建立列表需使用O(1)
大小的额外空间（ 列表作为返回结果，不计入额外空间 ）。
代码：
class Method{
public int[] printNumbers(int n) {
int end = (int)Math.pow(10, n) - 1;
int[] res = new int[end];
for(int i = 0; i < end; i++)
res[i] = i + 1;
return res;
}
}大数打印解法：
实际上，本题的主要考点是大数越界情况下的打印。需要解决以下三个问题：
- 表示大数的变量类型：
无论是 short / int / long … 任意变量类型，数字的取值范围都是有限的。因此，大数的表示应用字符串 String 类型。 - 生成数字的字符串集：
使用 int 类型时，每轮可通过+1生成下个数字，而此方法无法应用至 String 类型。并且， String 类型的数字的进位操作效率较低，例如 “9999” 至 “10000” 需要从个位到千位循环判断，进位 4 次。
观察可知，生成的列表实际上是n 位0 - 9的 全排列 ，因此可避开进位操作，通过递归生成数字的 String 列表。 - 递归生成全排列：
基于分治算法的思想，先固定高位，向低位递归，当个位已被固定时，添加数字的字符串。例如当n=2 时（数字范围1−99 ），固定十位为0 - 9，按顺序依次开启递归，固定个位0 - 9，终止递归并添加数字字符串。 - 根据以上方法，可初步编写全排列代码：
class Method{
StringBuilder res;
int count = 0, n;
char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
public String printNumbers(int n) {
this.n = n;
res = new StringBuilder(); // 数字字符串集
num = new char[n]; // 定义长度为 n 的字符列表
dfs(0); // 开启全排列递归
res.deleteCharAt(res.length() - 1); // 删除最后多余的逗号
return res.toString(); // 转化为字符串并返回
}
void dfs(int x) {
if(x == n) { // 终止条件：已固定完所有位
res.append(String.valueOf(num) + ","); // 拼接 num 并添加至 res 尾部，使用逗号隔开
return;
}
for(char i : loop) { // 遍历 ‘0‘ - ’9‘
num[x] = i; // 固定第 x 位为 i
dfs(x + 1); // 开启固定第 x + 1 位
}
}
}在此方法下，各数字字符串被逗号隔开，共同组成长字符串。返回的数字集字符串如下所示：
输入：n = 1
输出："0,1,2,3,4,5,6,7,8,9"
输入：n = 2
输出："00,01,02,...,10,11,12,...,97,98,99"
输入：n = 3
输出："000,001,002,...,100,101,102,...,997,998,999"观察可知，当前的生成方法仍有以下问题：
1、诸如00,01,02,⋯ 应显示为0,1,2,⋯ ，即应删除高位多余的0;
2、此方法从0开始生成，而题目要求列表从1开始；
以上两个问题的解决方法如下：
1、删除高位多余的0 ：
- 字符串左边界定义： 声明变量start规定字符串的左边界，以保证添加的数字字符串 num[start:] 中无高位多余的0。例如当n=2 时，1−9 时start=1 ，10−99 时start=0 。
- 左边界start变化规律： 观察可知，当输出数字的所有位都是9 时，则下个数字需要向更高位进1 ，此时左边界start需要减1（即高位多余的0减少一个）。例如当n=3（数字范围1−999）时，左边界start需要减1的情况有： “009” 进位至 “010” ， “099” 进位至 “100” 。设数字各位中9的数量为 nine，所有位都为9的判断条件可用以下公式表示：
n−start=nine - 统计nine的方法： 固定第x位时，当i=9则执行nine=nine+1，并在回溯前恢复nine=nine−1 。
2、列表从1开始：
- 在以上方法的基础上，添加数字字符串前判断其是否为 “0” ，若为 “0” 则直接跳过。
复杂度分析：
时间复杂度 O(10^n)： 递归的生成的排列的数量为 10^n 。
空间复杂度 O(10^n)： 结果列表res的长度为 10^n - 1，各数字字符串的长度区间为1,2,…,n ，因此占用 O(10^n)大小的额外空间。
代码：
为正确表示大数，以下代码的返回值为数字字符串集拼接而成的长字符串。
class Method{
StringBuilder res;
int nine = 0, count = 0, start, n;
char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
public String printNumbers(int n) {
this.n = n;
res = new StringBuilder();
num = new char[n];
start = n - 1;
dfs(0);
res.deleteCharAt(res.length() - 1);
return res.toString();
}
void dfs(int x) {
if(x == n) {
String s = String.valueOf(num).substring(start);
if(!s.equals("0")) res.append(s + ",");
if(n - start == nine) start--;
return;
}
for(char i : loop) {
if(i == '9') nine++;
num[x] = i;
dfs(x + 1);
}
nine--;
}
}本题要求输出 int 类型数组。为 运行通过 ，可在添加数字字符串s前，将其转化为 int 类型。代码如下所示：
class Method{
int[] res;
int nine = 0, count = 0, start, n;
char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
public int[] printNumbers(int n) {
this.n = n;
res = new int[(int)Math.pow(10, n) - 1];
num = new char[n];
start = n - 1;
dfs(0);
return res;
}
void dfs(int x) {
if(x == n) {
String s = String.valueOf(num).substring(start);
if(!s.equals("0")) res[count++] = Integer.parseInt(s);
if(n - start == nine) start--;
return;
}
for(char i : loop) {
if(i == '9') nine++;
num[x] = i;
dfs(x + 1);
}
nine--;
}
}总结：
算法的基础还是平常所学习的一些核心的知识点组成的,比如:数组、队列、堆、栈、链表、二叉树、图、递归、动态规划等组成,如果基础不是很好的话,建议先恶补一下理论的知识,等理论知识补上以后会相对容易一些!
最后，愿我们都能在各行各业中能够取得不同的成就！能够用自身的所学知识为国家贡献出自己的一份力量！一起加油！ 2021年5月7日夜
