unity RawImage 裁剪

文章目录

• 前言
• 一、简单看一下 观察空间—>裁剪空间—>屏幕空间 的转化

• 1、观察空间（右手坐标系、透视相机）
• 2、裁剪空间（左手坐标系、且转化为了齐次坐标）
• 3、屏幕空间（把裁剪坐标归一化设置）
• 4、从观察空间到裁剪空间
• 5、从裁剪空间到屏幕空间后

• 二、透视相机的参数推导

• 1、从XoY平面，求出X~v~从观察空间到裁剪空间的坐标投影 X~p~
• 2、从YoZ平面，求出Y~v~从观察空间到裁剪空间的坐标投影 Y~p~

• 三、把投影到近裁剪面的坐标 归一化设置

• 1、求归一化设置后的 x~n~
• 2、求归一化设置后的 y~n~
• 3、得到最后化简的公式

• 四、构建转化矩阵

• 1、在OpenGL[-1,1]下：
• 2、在DirectX[1,0]下：
• 3、把A、B代入矩阵得

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前言

我们把顶点坐标信息转化为裁剪空间。有可能使用到正交相机信息 或 透视相机。我们在这篇文章中，推导一下透视相机视图空间下的坐标转化到裁剪空间的矩阵。

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一、简单看一下 观察空间—>裁剪空间—>屏幕空间 的转化

1、观察空间（右手坐标系、透视相机）

2、裁剪空间（左手坐标系、且转化为了齐次坐标）

3、屏幕空间（把裁剪坐标归一化设置）

4、从观察空间到裁剪空间

用透视投影矩阵先转化到裁剪空间
然后，在转化为齐次坐标

5、从裁剪空间到屏幕空间后

$-1 \leq \frac{x_c}{w}\leq1$

$-w \leq x_c\leq w$

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二、透视相机的参数推导

• 我们对于远裁剪面只是已知 f，其他参数都是未知

1、从XoY平面，求出X_v从观察空间到裁剪空间的坐标投影 X_p

• 点 V 是观察空间下的模型顶点，xyz是已知的
  已知：$(x_v,y_v,z_v) 、 -n$
• 点P是该点在近裁剪面上的投影点，xyz是未知的
  未知：$(x_p,y_p,z_p)$
• 我们在 XoZ平面上，能求的就是 x_p
  求:$x_p$

$z_p = -n$

$y_p 在XoZ平面下，无法计算$

• v点向Z轴做垂线，原点连接v点，围成的两个三角形相似，可得：

$\frac{x_p}{x_v} = \frac{-n}{z_v}$

$x_p = \frac{-n}{z_v} x_v$

$P = (\frac{-n}{z_v}x_v,未知,-n)$

2、从YoZ平面，求出Y_v从观察空间到裁剪空间的坐标投影 Y_p

• 点 V 是观察空间下的模型顶点，xyz是已知的
  已知：$(x_v,y_v,z_v) 、 -n$
• 点P是该点在近裁剪面上的投影点，xyz是未知的
  未知：$(x_p,y_p,z_p)$
• 我们在 YoZ平面上，能求的就是 y_p
  求: $y_p$

$z_p = -n$

$x_p 在XoZ平面下，无法计算$

• v点向Z轴做垂线，原点连接v点，围成的两个三角形相似，可得：

$\frac{y_p}{y_v} = \frac{-n}{z_v}$

$y_p = \frac{-n}{z_v} y_v$

$P = (\frac{-n}{z_v}x_v,\frac{-n}{z_v} y_v,-n)$

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三、把投影到近裁剪面的坐标 归一化设置

$P = (\frac{-n}{z_v}x_v,\frac{-n}{z_v} y_v,-n)$

化到[-1,1]之间
具体参考Unity中Shader裁剪空间推导（正交相机到裁剪空间的转化矩阵）

1、求归一化设置后的 x_n

• $l \leq x \leq r$ 化为： $-1 \leq \frac{2x}{w} \leq 1$

$-1\leq \frac{-2nx_v}{z_vw}\leq 1$

$-1\leq \frac{-2n}{w}·\frac{x_v}{z_v}\leq 1$

2、求归一化设置后的 y_n

• $l \leq y \leq r$ 化为： $-1 \leq \frac{2y}{h} \leq 1$

$-1\leq\frac{-2ny_v}{z_vh}\leq1$

$-1\leq\frac{-2n}{h}·\frac{y_v}{z_v}\leq1$

3、得到最后化简的公式

由于NDC下的坐标由透视除法而得
我们假设透视除法中的 w 为 -z_v
还原到裁剪空间还需要乘以 -z_v

• X:

$-1\leq \frac{-2n}{w}·\frac{x_v}{z_v}\leq 1$

$x_n = \frac{-2n}{w}\frac{x_v}{z_v}$

$-x_nz_v = \frac{2n}{w}x_v$

• Y:

$-1\leq\frac{-2n}{h}·\frac{y_v}{z_v}\leq1$

$y_n = \frac{-2n}{h}\frac{y_v}{z_v}$

$-y_n z_v= \frac{2n}{h}y_v$

• Z:

$z_n = ?$

$-z_nz_v = -z_v?$

• W:

$w = 1$

$-w_nz_v = -z_v$

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四、构建转化矩阵

裁剪空间下的点 = 观察空间下的基向量 在 裁剪空间下的矩阵 * 点在观察空间下的坐标

$P_c = [V_c]·P_v$

$P_c = [C_v]^{-1}·P_v$

$P_c = [C_v]^{T}·P_v$

• $-x_nz_v = \frac{2n}{w}x_v$
• $-y_n z_v= \frac{2n}{h}y_v$
• $-z_nz_v = -z_v?$
• $-w_nz_v = -z_v$

$\begin{bmatrix} \frac{2v}{w} & 0 & ? &?\\ 0 & \frac{2n}{h} & ? &?\\ 0 & 0 & ? &?\\ 0 & 0 & ? & ?\\ \end{bmatrix}^T =\begin{bmatrix} \frac{2v}{w} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2n}{h} & 0 &0\\ ? & ? & ? &?\\ ? & ? & ? & ?\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{2v}{w} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2n}{h} & 0 &0\\ ? & ? & ? &?\\ ? & ? & ? & ?\\ \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} x_v\\ y_v\\ z_v\\ 1\\ \end{bmatrix} = (-x_nz_v,-y_nz_v,-z_nz_v,-w_nz_v)$

最后一行由于相乘结果为1可以得出，把最后未知部分设为A，B
$\begin{bmatrix} \frac{2v}{w} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2n}{h} & 0 &0\\ 0 & 0 & A &B\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} x_v\\ y_v\\ z_v\\ 1\\ \end{bmatrix}$

$z_c = Az_v+B$

$-z_nz_v = -z_v$

$\frac{z_c}{-z_v} = \frac{Az_v+B}{-z_v}$

$z_n = \frac{Az_v+B}{-z_v}$

1、在OpenGL[-1,1]下：

$z_n = \frac{Az_v+B}{-z_v}$

$\begin{cases} z_v = -n,z_n=-1 \\ z_v = -f,z_n = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} -1 = \frac{-An+B}{n}\\ 1 = \frac{-Af + B}{f} \end{cases}$

$\begin{cases} -n = -An+B\\ f = -Af + B \end{cases}$

$B = An - n$

$f = -Af +An-n$

$f + n= A(n-f)$

$A = \frac{n+f}{n-f}$

$B = \frac{n+f}{n-f}n-n$

$B = \frac{n^2 + fn}{n-f}\frac{n^2-nf}{n-f}$

$B = \frac{2nf}{n-f}$

2、在DirectX[1,0]下：

$z_n = \frac{Az_v+B}{-z_v}$

$\begin{cases} z_v = -n,z_n=1 \\ z_v = -f,z_n = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 1 = \frac{-An+B}{n}\\ 0 = \frac{-Af+B}{f} \end{cases}$

$\begin{cases} n = -An+B\\ 0 = -Af+B \end{cases}$

$B = Af$

$n = -An+Af$

$n = A(f-n)$

$A =\frac{n}{f-n}$

$B = \frac{nf}{f-n}$

3、把A、B代入矩阵得

• OpenGL
  $\begin{bmatrix} \frac{2n}{w} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2n}{h} & 0 &0\\ 0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} &\frac{2nf}{n-f}\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \end{bmatrix}$
• DirectX
  $\begin{bmatrix} \frac{2n}{w} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2n}{h} & 0 &0\\ 0 & 0 & \frac{n}{f-n} &\frac{nf}{f-n}\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \end{bmatrix}$