众所周知，二维平面直角坐标系中的面积微元转换为平面极坐标系有
为什么？
尝试下证明 ：
先列出x,y与r,
之间的关系
，
微分一下
，
得到了
什么？你说你不知道第三行怎么来的？我也不知道。。。
于是这波看似100%能成功的证明就以失败告终了。
有厉害的小伙伴指出了，这里的面积微分并不是这么定义的，而应该是外积，在运算法则上的不同造成了证明中的错误。
那换个角度，这也是我最先对于这个面积转换的理解（这也正是改变了运算法则，采用了外积的运算方式）：
这可以看作红色“矩形”的面积，
顺理成章。
可是这又跟dx,dy何干？唯一明显的联系就是 它们同样表示的是二维平面的面积微元。
下面是另外一种理解，或许可以解答这个疑惑。
贴一段百度词条
非线性变换
线性变换、仿射变换使得向量空间上的点具有很好的性质，但是这些性质到了非线性变换就消失了。
举个例子：
。。。
那么该如何用矩阵来描述变换后向量张成的空间呢？
很明显的是，不能再用一个常数矩阵来描述了。每一个不同向量都有自己的矩阵变换，不妨就关注某个特定的向量，以及这个向量附近的向量。
因为是“附近”，所以这个向量在邻域内张成的空间可以看作是线性变换的，所以可以用一个特定的矩阵来描述。
在上述例子中，原空间由x,y的基矢构成，变换后的空间由
的基矢构成。
在线性变换中，我们作用的矩阵有精巧的几何意义,考虑一个线性变换
这就好像是我们输入一个向量
，经过一个变换
，输出了
。
那么可以输入一个原向量的单位向量
于是输出了
；同样地，输入一个
得到
，这说明了，组成空间的两个基矢经过的线性变换到了两个新的位置（可以与原先相同）。
在非线性变换中，我们不能保证所有“基矢”都到达同样的位置，但是也不需要，我们可以研究局部的性质。
既然是局部，我们就可以用线性的变换来拟合。
考察一个矢量
，经过了变换来到了
，对它进行邻域内的近似线性变换
（此处的
是小量）。
，这里的函数决定了变换矩阵
和平移量
。
现在做的只是完美确定了矢量
落在了该落的位置上（假设），还需要做的事是把
附近的矢量准确落位。
设原空间中的基分别是
，变换后
;
这时如果我们输入一个
(
是小量），也就相当把
函数改为
这就相当于对
中的x求偏导，显然有
，同样有
。
如果输入的是
，这也就要求了输出的是
为了让线性变换后也达到这个效果，我们需要作用一个矩阵，这个矩阵也就是雅可比矩阵(Jacobian Matrix)。
它具有如下形式（二维）：
这就符合了前面的要求：对这个矩阵作用一个小量（小的向量）
发现，作用了这个矩阵使得
在邻域内能满足：
也即
可这又跟一开始的面积微元有什么联系呢？
线性变换中的面积变换
高中阶段，我们接触最多的就是椭圆当中的伸缩变换
面积微元的变换很显然，
。
可是如果变换后的基矢并不正交（这也正是大部分情况）呢？
观察下
的变换矩阵：
，看到了变换后的面积微元与变换前的比值是这个矩阵的行列式
。
对于普遍的变换
前面已经提到，基矢来到了不同的位置
rt
注意到单位面积变换到了平行四边形
的面积，这就非常好求了，只需要
，就得到了变换后的单位面积，所以微分形式是
，即面积变换需要乘上一个变换的矩阵的行列式。
也可以写成
（有用极了）
非线性的变换在局部具有线性的性质，我们讨论面积的微元，也就可以在线性的情况下解决。
我们要处理文章最开始的问题：
这个问题可以是，把由
构成的向量空间转换成固定且正交的基矢构成的空间，求在
处的面积微元表达形式。
这个非线性的变换可以表达成
也是
，我们考虑微小的面积，所以就用上了前面的雅可比矩阵。
在
处的雅可比矩阵写为：
所以在这个点附近的微小变化就可以用这个矩阵来描述。那我们假设一个微小变化为
（原空间中的微小变化），产生一个微小的平行四边形（变换后的空间中）的面积就是
。
于是就证明了一开始的结论：
雅可比矩阵的应用就在于类似于这样的微分形式换元。
看一个问题：求
。
给出一种解法：
作换元
，得到了
这里就用到了
，当然也可以理解为面积元的转换，不过雅可比矩阵给出了很好的解释。
可以看到，
在第一象限，所以定义域在
。
算算完就是：
，得到了
。
这只是展示了很弱的运用，不过也有意义。（比较有用的看情况更）
