机器学习信号显著度 信号均值怎么求

平均值

平均值为所有抽样值加起来，除以总点数。平均值计算公式如下：
$\mu =\frac{1}{N}\sum\limits_{i=0}^{N-1}{{{x}_{i}}}$
在电子学中，平均值被称为直流(DC)值。所谓直流，即频率为0的分量。通过傅里叶变换公式也可以得到上述公式。
$\mu$实际上就表示了信号中直流分量的大小。

标准偏差

那么，交流分量的大小如何表示？

用原信号减去直流分量。即 $\left| {{x}_{i}}-\mu \right|$，其表示了每个点上交流分量的大小。 $\left| {{x}_{i}}-\mu \right|$被称为偏差。那么总的交流分量大小怎么表示？

一种是平均偏差：

$\frac{1}{N}\sum\limits_{i=0}^{N-1}{\left| {{x}_{i}}-\mu \right|}$

一种是标准偏差( $\sigma$)：

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=0}^{N-1}{{{\left( {{x}_{i}}-\mu \right)}^{2}}}}$

在统计中，往往使用后者。因为后者和实际的物理场景更为相符。后者实际上是一种平均功率，而前者是一种平均幅度。当存在多个随机噪声时，总噪声功率等于各个噪声功率的叠加，而不是幅度的叠加。 ${{\sigma }^{2}}$被称为方差。关于为何标准偏差或者样本方差的分母为N-1，可以看《样本方差公式推导–为什么样本方差的分母是n-1》一文。

大家比较熟悉的应该是RMS(均方根)值。它既包括了直流也包括了交流。当信号不存在直流分量时，它的RMS值与标准偏差是相等的。RMS(均方根)值公式如下：

$RMS=\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{i=0}^{N-1}{x_{i}^{2}}}$

信号的峰峰值与标准偏差之间的关系如下：

上述计算平均值和标准偏差的公式在实际应用中还存在些许不足：

1. 如果平均值$\mu$比标准偏差$\sigma$
2. 当获得新的抽样点时，整个计算需要完全重新计算。
   对上述计算公式进行重新整理，可以解决上述问题：
   $\begin{aligned} \sigma &=\sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=0}^{N-1}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}} \\ &=\sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=0}^{N-1}\left(x_{i}^{2}+\mu^{2}-2 \mu x_{i}\right)} \\ &=\sqrt{\frac{1}{N-1}\left(\sum_{i=0}^{N-1} x_{i}^{2}+\sum_{i=0}^{N-1} \mu^{2}-2 \mu \sum_{i=0}^{N-1} x_{i}\right)} \\ &=\sqrt{\frac{1}{N-1}\left(\sum_{i=0}^{N-1} x_{i}^{2}+N \mu^{2}-2 N \mu^{2}\right)} \\ &=\sqrt{\frac{1}{N-1}\left(\sum_{i=0}^{N-1} x_{i}^{2}-N \mu^{2}\right)} \\ &=\sqrt{\frac{1}{N-1}\left(\sum_{i=0}^{N-1} x_{i}^{2}-\frac{1}{N}\left(\sum_{i=0}^{N-1} x_{i}\right)^{2}\right)} \end{aligned}$
   这样的计算公式非常方便，当新增点数时，只需要更新总点数、平方和、均值三个参数就行，而在计算这三个参数时，无需所有点参与，只需要本次新增点以及上次的计算结果就可以完成计算。
   在一些情况下，平均值代表已经测量的结果，标准偏差代表噪声或其他影响。此时，标准偏差本身并不重要，重要的是标准偏差与平均值之间的比值。即信噪比（SNR）：
   $SNR=\frac{{{\mu }^{2}}}{{{\sigma }^{2}}}$
   将上式颠倒，就变为变异系数（CV）的计算公式：
   $CV=\frac{{{\sigma }^{2}}}{{{\mu }^{2}}}$