By Long Luo

机器学习中需要训练大量数据，涉及大量复杂运算，例如卷积、矩阵等。这些复杂运算不仅多，而且每次计算的数据量很大，如果能针对这些运算进行优化，可以大幅提高性能。

一、矩阵乘法

假设



为



的矩阵，



为



的矩阵，那么称



的矩阵



为矩阵



与



的乘积，



记作



，称为矩阵积（matrix product）。



其中矩阵



中的第



行第



列元素可以表示为：






如下图所示：




SIFTHessian矩阵_SIFTHessian矩阵


Figure 1 Matrix Multiplication

假如在矩阵


和矩阵


中，


，那么完成


需要多少次乘法呢？


  1. 对于每一个行向量 ，总共有 行；
  2. 对于每一个列向量 ，总共有 列；
  3. 计算它们的内积，总共有 次乘法计算。

综合可以看出，矩阵乘法的算法复杂度是：


。


二、Strassen算法

那么有没有比


更快的算法呢？


1969年，Volker Strassen提出了第一个算法时间复杂度低于


矩阵乘法算法，算法复杂度为


。从下图可知，Strassen算法只有在 对于维数比较大的矩阵

，性能上才有很大的优势，可以减少很多乘法计算。


SIFTHessian矩阵_矩阵乘法 算法训练 试题_02

Figure 2 x^3 vs. x^2.807


Strassen算法证明了矩阵乘法存在时间复杂度低于


的算法的存在，后续学者不断研究发现新的更快的算法，截止目前时间复杂度最低的矩阵乘法算法是Coppersmith-Winograd方法的一种扩展方法，其算法复杂度为


。


三、Strassen原理详解

假设矩阵


和矩阵


都是


的方矩阵，求


，如下所示：


，


，



其中



矩阵


可以通过下列公式求出：



从上述公式我们可以得出，计算2个


的矩阵相乘需要2个


的矩阵8次乘法和4次加法。我们使用


表示


矩阵乘法的时间复杂度，那么我们可以根据上面的分解得到下面的递推公式：



其中，

  1. 表示8次矩阵乘法，而且相乘的矩阵规模降到了 。

2.


表示4次矩阵加法的时间复杂度以及合并矩阵


的时间复杂度。


最终可计算得到


。


可以看出每次递归操作都需要8次矩阵相乘，而这正是瓶颈的来源。相比加法，矩阵乘法是非常慢的，于是我们想到能不能减少矩阵相乘的次数呢？

答案是当然可以！

Strassen算法正是从这个角度出发，实现了降低算法复杂度！

实现步骤可以分为以下4步：

3.1 Strassen实现步骤

  1. 按上述方法将矩阵 分解（花费时间 ）。

2. 如下创建10个


的矩阵


(花费时间


）。



3. 递归地计算7个矩阵积


，每个矩阵


都是


的。



注意，上述公式中只有中间一列需要计算。

4. 通过


计算


，花费时间


。



综合可得如下递归式：



进而求出时间复杂度为：



四、Strassen算法的代码实现

我们以MNN中关于Strassen算法源码实现来学习：https://github.com/alibaba/MNN/blob/master/source/backend/cpu/compute/StrassenMatmulComputor.cpp。

类StrassenMatrixComputor提供了3个API供调用：

_generateTrivalMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT);

普通矩阵乘法计算

_generateMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth);

Strassen算法的矩阵乘法

_generateMatMulConstB(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth);

Strassen算法的矩阵乘法（和MatMul的区别在于内存Buffer是否允许复用)

我们以_generateMatMul为例来学习下Strassen算法如何实现，可以分成如下几步：

第一步：使用Strassen算法收益判断

在矩阵操作中，因为需要对矩阵的维数进行扩展，涉及大量读写操作，这些读写操作都需要大量循环，如果读写次数超出使用Strassen乘法的收益的话，就得不偿失了，那么就使用普通的矩阵乘法。


/*
     Compute the memory read / write cost for expand
     Matrix Mul need eSub*lSub*hSub*(1+1.0/CONVOLUTION_TILED_NUMBWR), Matrix Add/Sub need x*y*UNIT*3 (2 read 1 write)
     */
    float saveCost =
        (eSub * lSub * hSub) * (1.0f + 1.0f / CONVOLUTION_TILED_NUMBWR) - 4 * (eSub * lSub) * 3 - 7 * (eSub * hSub * 3);
    if (currentDepth >= mMaxDepth || e <= CONVOLUTION_TILED_NUMBWR || l % 2 != 0 || h % 2 != 0 || saveCost < 0.0f) {
        return _generateTrivialMatMul(AT, BT, CT);
    }


第二步：分块

将矩阵


，


，


3个矩阵都分成4块： 


auto aStride = AT->stride(0);
    auto a11     = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;
    auto a12     = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;
    auto a21     = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;
    auto a22     = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;

    auto bStride = BT->stride(0);
    auto b11     = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;
    auto b12     = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;
    auto b21     = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;
    auto b22     = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;

    auto cStride = CT->stride(0);
    auto c11     = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;
    auto c12     = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;
    auto c21     = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;
    auto c22     = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;


第三步：分治和递归

Strassen算法核心就是分治思想。这一步可以写成下列所示伪代码：


1. If n = 1 Output A × B
2. Else
3. Compute A11,B11, . . . ,A22,B22 % by computing m = n/2
4. P1   Strassen(A11,B12 − B22)
5. P2   Strassen(A11 + A12,B22)
6. P3   Strassen(A21 + A22,B11)
7. P4   Strassen(A22,B21 − B11)
8. P5   Strassen(A11 + A22,B11 + B22)
9. P6   Strassen(A12 − A22,B21 + B22)
10. P7   Strassen(A11 − A21,B11 + B12)
11. C11   P5 + P4 − P2 + P6
12. C12   P1 + P2
13. C21   P3 + P4
14. C22   P1 + P5 − P3 − P7
15. Output C
16. End If


例如其中的一步代码如下所示：


{
        // S1=A21+A22, T1=B12-B11, P5=S1T1
        auto f = [a22, a21, b11, b12, xAddr, yAddr, eSub, lSub, hSub, aStride, bStride]() {
            MNNMatrixAdd(xAddr, a21, a22, eSub * aUnit / 4, eSub * aUnit, aStride, aStride, lSub);
            MNNMatrixSub(yAddr, b12, b11, lSub * bUnit / 4, lSub * bUnit, bStride, bStride, hSub);
        };
        mFunctions.emplace_back(f);
        auto code = _generateMatMul(X.get(), Y.get(), C22.get(), currentDepth);
        if (code != NO_ERROR) {
            return code;
        }
    }


递归执行，得到最终结果！