位姿理解到了，可以开始上手摆弄协作臂了吗？先等等，坐标系搞清楚没有？先看下常用的坐标系。
协作臂常用坐标系
进行协作臂开发，肯定少不了跟这几个坐标系打交道。
1.基坐标系（世界坐标系）
协作臂都有基坐标系，默认原点是协作臂底座的中心点。如果机械臂是正放安装的姿态，Z轴垂直于安装面向上，X和Y轴在安装平面上，具体方向各厂家略有不同。如图1
2.工具坐标系（末端坐标系）
6轴或7轴的协作臂的工具坐标系，原点一般在第6或7轴法兰末端中心，也叫TCP（Tool Center Point）；如果连接有末端执行器，则一般在执行器中心轴末端（或夹爪中点）。Z轴与末端法兰轴心重合，指向末端的朝向。如图1
3.用户坐标系
用户自己定义的坐标系，一般是已有生产线或者应用场景的情况下，用户已经提前定义好的坐标系。
4.相机坐标系
一般是指相机拍摄像图像时，产生图像的坐标系。在协作臂使用机器视觉时需要用到。如图1
图1-手眼标定中的坐标系
这么多坐标系，相互之间少不了变换。比如，在相机中拍到的某个物体，在基坐标系中的位置在哪里？
坐标系变换
平移；姿态的变换叫做旋转。
平移变换
矢量相加。点P在坐标系{B}中的位置记为
，坐标系{A}与{B}姿态相同，{B}的原点相对于{A}原点的向量为
，点P在{A}中的位置为
。变换公式为：
坐标系平移变换
旋转变换
就是原点重合，姿态改变，一般用旋转矩阵来表示。点P在坐标系{B}中的位置记为
，坐标系{A}与{B}原点重合，{B}相对{A}的姿态描述就是旋转矩阵
，点P在{A}中的位置为
，变换公式为：
坐标系旋转变换
复合变换（平移+旋转）
一般情况下，坐标系的变换都是复合变换，需要平移原点再进行旋转完成变换。点P在坐标系{B}中的位置记为
，{B}的原点相对于{A}原点的向量为
，{B}相对{A}的姿态描述就是旋转矩阵
，点P在{A}中的位置为
，变换公式为：
（复合变换公式）
坐标系复合变换
齐次变换矩阵
齐次变换矩阵。下面公式中的
就是一个齐次变换矩阵：
其结构为4x4：
这样一来，使用齐次变换矩阵后，坐标系的复合变换也直接变成矩阵乘法运算了。
多个坐标系的变换
有了齐次变换矩阵，表示多个坐标系的变换就方便了。已知坐标系{C}相对于{B}的变换，且已知坐标系{B}相对{A}的变换。要将点在{C}中的表示
变换为在{A}中的表示
。已知：
，又已知：
，两式合并代入有：
。可定义：
多个坐标系之间使用齐次变换矩阵
齐次变换的逆变换
已知坐标系{B}相对坐标系{A}的齐次变换
，求
。已知
，就已知
和
。由旋转矩阵的性质可知：
由上面的复合变换公式可以得到
，因为在{B}中
为0，所以有
根据齐次变换矩阵的定义，可写出：
变换方程
坐标系变换最常用到的地方，就是相机与机械臂末端的手眼标定。变换方程，就是在已知变换矩阵的情况下，求出未知矩阵。
坐标系变换方程
由上图可知
，
，于是等式替换：
，要求解
，可变换等式：
现在，坐标系的变换都搞清楚了吧？
