L1正则化 代码 pytorch python l2正则化

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正则化

损失函数一般后面都会添加一个附加项，这个附加项一般分成两种：
一般英文称作 ℓ1-norm 和 ℓ2 -norm，中文称作== L1正则化 ==和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。

对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项就是L1正则化项

下图是Python中Ridge回归的损失函数，加号后一项是L2正则化项。

一般回归分析中回归w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

• L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为||w||₁
• L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方好和然后再求平方根，可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为||w||₂
  一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ 表示。这个系数需要用户指定。

L1正则化和L2正则化作用：

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择。
• L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting），一定程度上，L1也可以防止过拟合。

稀疏模型与特征选择
上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的理解

L1正则化和特征选择

假设有如下带L1正则化的损失函数：

其中J₀ 是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α 是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J 是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J₀ 后添加L1正则化项时，相当于对J₀做了一个约束。令L=α∑_w∣w∣ ，则J=J₀+L ，此时我们的任务变成在L约束下求出J₀取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w¹和w²，此时L=∣w¹∣+∣w²∣对于梯度下降法，求解J₀ 的过程可以画出等值线，同时L₁正则化的函数L也可以在 w¹w² 的二维平面上画出来。如下图:

图中等值线J₀的等值线，黑色方形是L函数图形。在图形中，当J₀等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中J₀与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值（w¹,w²）=(0,w)。可以直观想象，因为L函数很多突出的角（二维情况下四个，多维更多），J₀与这些角接触的机率会远大于L其他部位接触的机率。而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数α，可以控制L图形的大小，α越小，L的图形越大；α越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这就是最优点的值（w¹,w²）=(0,w)中的w可以取到的最小值。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

可以画出:

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，没有棱角，因此，J₀与L相交时使得w¹或w²等于零的记机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合

拟合过程中都趋向于让权值尽量小，洗后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ。h_θ（x）是我们的假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。单个样本的平方差是（h_θ（x）-y）²,如果考虑所有样本，损失函数是对每个样本的平方差求和，假设有m个样本，线性回归的代价函数如下，为了后续处理方便，乘以一个常数1/2m。

在梯度下降算法中，需要先对参数求导，得到梯度。梯度本身是上升最快的方向，为了让损失尽可能小，沿梯度的负方向更新参数即可。

对于单个样本，先对某个参数θ_j 求导：

注意到h_θ（x）的表达式是h_θ（x）=θ₀ x₀+θ₁ x₁+……+θ_n x_n，单个样本对某参数θ_j 求导：

最终(3.1)式结果如下：

在考虑所有样本的情况，将每个样本对θ_j的导数求和即可，得到下式：

梯度下降算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，因此在(3.3)式前添加一个负号，并乘以一个系数α \alphaα（即学习率），得到最终用于迭代计算参数θ_j 的形式：

其中α 是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

其中λ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θj \th都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θ_j不断减小，因此总得来看，θ是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

正则化参数的选择

L1正则化参数
通常越大的λ 可以让代价函数在参数为0时取到最小值。
L2正则化参数
λ 越大，θ_j衰减得越快。另一个理解，λ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。