威布尔分布python

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mob64ca12f3496a 2024-10-30 04:03:15 ©著作权

文章标签 概率密度函数 Python ci 文章分类 Python 后端开发

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威布尔分布基础知识及Python应用

一、什么是威布尔分布

威布尔分布（Weibull Distribution）是一种用于可靠性分析和生命数据分析的概率分布。它由瑞典工程师Wallodi Weibull于1951年提出，广泛应用于工程、气象和生物统计等领域，主要用于描述材料和系统的失效时间。

威布尔分布的特点

**形状参数（β）**：
- 当β < 1时，表示失效发生的概率随时间降低，适用于早期失效。
- 当β = 1时，表示失效的概率恒定，适用于随机失效。
- 当β > 1时，表示失效概率随时间增加，适用于老化失效。
**尺度参数（α）**：
- 表示分布的尺度，影响失效时间的范围。

威布尔分布的概率密度函数

威布尔分布的概率密度函数（PDF）可表示为：

[ f(x; \alpha, \beta) = \begin{cases} \frac{\beta}{\alpha} \left(\frac{x}{\alpha}\right)^{\beta - 1} e^{-(x/\alpha)^{\beta}} & x \geq 0 \ 0 & x < 0 \end{cases} ]

二、Python中的威布尔分布

在Python中，我们可以使用scipy库中的weibull_min函数来生成和分析威布尔分布。以下是一个基本的实现示例。

安装依赖库

首先，要确保你已经安装了scipy和matplotlib。可以使用如下命令进行安装：

pip install scipy matplotlib

代码示例

下面的代码示例展示了如何使用Python绘制威布尔分布的概率密度函数，并生成随机样本。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import weibull_min

# 设置参数
alpha = 1.5  # 尺度参数
beta = 2.0   # 形状参数

# 生成数据
x = np.linspace(0, 3, 1000)
pdf = weibull_min.pdf(x, beta, scale=alpha)

# 绘制概率密度函数
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, pdf, label=f'Weibull PDF (α={alpha}, β={beta})')
plt.title('Weibull Distribution Probability Density Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Density')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

运行上述代码后，您将看到威布尔分布的概率密度函数图。

随机样本生成

接下来，您也可以生成随机样本并进行可视化：

# 生成随机样本
samples = weibull_min.rvs(beta, scale=alpha, size=1000)

# 绘制直方图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.hist(samples, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')
plt.plot(x, pdf, 'r-', lw=2, label='Weibull PDF')
plt.title('Random Samples from Weibull Distribution')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Density')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

运行这段代码后，您将看到随机样本的直方图，以及对应的威布尔分布的概率密度函数。

三、应用案例分析

用于项目管理的威布尔分布

在项目管理中，威布尔分布也被广泛应用于预计任务完成的时间。下面是基于威布尔分布的甘特图示例，展示了不同任务的预计完成时间。

gantt
    title 项目进度甘特图
    dateFormat  YYYY-MM-DD
    section 项目阶段
    任务A          :a1, 2023-10-01, 30d
    任务B          :after a1  , 20d
    任务C          :after a1  , 15d

从甘特图中，我们可以直观地看到项目不同阶段的进度安排。

数据关系示意图

在数据关系中，威布尔分布也可用于分析不同因素对产品质量的影响，以下是一个简单的关系图示例：

erDiagram
    产品 {
        string id
        string name
        date release_date
    }
    失效样本 {
        string sample_id
        string product_id
        date fail_date
        float fail_time
    }
    产品 ||--o| 失效样本 : produce