python构造指数分布样本

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mob64ca12e2f123 2024-12-19 08:20:07 ©著作权

文章标签 指数分布 Python 饼状图 文章分类 Python 后端开发

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Python构造指数分布样本

指数分布是概率论和统计学中重要的连续概率分布之一，通常用于描述独立事件之间的时间延迟。在可靠性工程、队列理论及许多其他领域都有广泛的应用。在这篇文章中，我们将介绍如何使用Python构造指数分布样本，并通过可视化来更好地理解其特性。

什么是指数分布？

指数分布是一个单参数分布，其概率密度函数（PDF）定义为：

$$ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0) $$

其中，λ（lambda）是分布的参数，表示事件发生的速率。较大的λ值意味着事件发生得更频繁。

关键特性

无记忆性：指数分布的一个重要特性是无记忆性，即未来的事件与过去的事件无关。
期望值和方差：
- 期望值：( E[X] = \frac{1}{\lambda} )
- 方差：( Var[X] = \frac{1}{\lambda^2} )

使用Python构造指数分布样本

Python中有几个库可以帮助我们构造和分析随机样本，包括 numpy 和 matplotlib。我们将使用这些库来生成和可视化指数分布样本。

安装依赖库

如果还没有安装相关的库，可以使用以下命令进行安装：

pip install numpy matplotlib seaborn

代码示例

下面是一个简单的例子，展示如何用Python构造和可视化指数分布样本。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

# 设置参数
lambda_param = 1.0  # 事件发生频率
sample_size = 1000   # 样本大小

# 生成指数分布的样本
samples = np.random.exponential(1/lambda_param, sample_size)

# 可视化分布
plt.figure(figsize=(12, 6))

# 绘制直方图
sns.histplot(samples, bins=30, kde=True, stat="density", color="blue", label="Density Function")
plt.title('Exponential Distribution Samples (λ={})'.format(lambda_param))
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Density')
plt.legend()
plt.grid()

# 显示图形
plt.show()

代码解析

引入库：首先，我们引入了 numpy、matplotlib 和 seaborn。
设置参数：设定λ参数和样本大小。
生成样本：使用 np.random.exponential() 生成样本。
绘制密度图：使用 seaborn.histplot() 绘制样本的直方图及其密度函数。

运行上述代码后，您将会看到类似以下的直方图，展示了样本的概率密度。

状态图

为了更好地理解指数分布的性质，我们可以使用状态图展示其无记忆性特征。以下是一个简单的状态图，展示了一系列事件在时间轴上的状态变化。

stateDiagram
    [*] --> A : 时间 t
    A --> B : 事件发生
    A --> C : 事件未发生
    B --> A : 重复事件
    C --> C : 时间流逝

在这个状态图中：

状态A表示“当前时间”，
状态B表示“事件发生”，
状态C表示“事件未发生”。

饼状图

接下来，我们可以使用饼状图展示在一定样本中事件发生和未发生的概率。饼状图能有效地显示样本分布的组成情况。

示例代码

# 计算事件发生和未发生的数量
event_occurred = np.sum(samples < 1)  # 事件发生
event_not_occurred = sample_size - event_occurred  # 事件未发生

# 绘制饼状图
labels = '事件发生', '事件未发生'
sizes = [event_occurred, event_not_occurred]
colors = ['lightblue', 'lightcoral']
explode = (0.1, 0)  # 仅“事件发生”稍微突出

plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.pie(sizes, explode=explode, labels=labels, colors=colors, autopct='%1.1f%%', shadow=True, startangle=90)
plt.axis('equal')  # 确保饼图为圆形
plt.title('事件发生与未发生的比例')
plt.show()